センター試験数学IIB 2012年問題
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[1][1] 
，
として、不等式
･･･①を満たすxの値の範囲を求めよう。
真数は正であるから、
が成り立つ。ただし、対数
に対し、aを底といい、bを真数という。
底aが
を満たすとき、不等式① 
･･･②となる。ただし、
については、当てはまるものを、次の
～
のうちから一つ選べ。 
したがって、真数が正であることと②から、
のとき、不等式①を満たすxのとり得る値の範囲は
である。
同様にして、
のときには、不等式①を満たすxのとり得る値の範囲は
であることがわかる。
[2] 
として を満たすβ について考えよう。ただし、
とする。
たとえば、
のとき、β のとり得る値は
と
の二つである。
このように、αの各値に対して、β のとり得る値は二つある。そのうちの小さい方を
，大きい方を
とし が最大となるαの値とそのときのyの値を求めよう。
，
をαを用いて表すと、
のときは 
，
となり、
のときは 
，
となる。
したがって、
のとり得る値の範囲は である。よって、yが最大となるαの値は
であり、そのときのyの値は
であることがわかる。
に当てはまるものを、次の～
のうちから一つ選べ。 
1 
[解答へ]
[2] 座標平面上で曲線
をCとし、放物線
をDとする。
(1) 曲線C上の点P
におけるCの接線の方程式は である。放物線Dは点Pを通り、DのPにおける接線と、CのPにおける接線が一致するとする。このとき、pとqをaを用いて表すと
･･･①となる。
以下、p，qは①を満たすとする。
(2) 放物線Dがy軸上の与えられた点Q
を通るとき 
･･･②が成り立つ。与えられたbに対して、②を満たすaの値の個数を調べよう。
そのために、関数
の増減を調べる。関数
は、
で極小値
をとり、
で極大値
をとる。
関数
のグラフをかくことにより、
のとき、②を満たすaの値の個数は
であることがわかる。
(3) 放物線Dの頂点がx軸上にあるのは、
の二つの場合である。
のときの放物線を
，
のときの放物線を
とする。
，
とx軸で囲まれた図形の面積は
である。 [解答へ]
[3] 
を
，
である等差数列とし、自然数nに対して、
とおく。
であり、
の公差は
である。したがって
である。
次に、数列
は
(
) ･･･①
の一般項を求めよう。①から
である。さらに、
に注意して、①を利用すると
(
)
と変形できる。ここで
(
) ･･･②
は、
，公比が
の等比数列であるから、②により
(
)
である。ただし、
については、当てはまるものを、次の～
のうちから一つ選べ。
n 
[解答へ]
[4] 空間に異なる4点O，A，B，Cを
，
，
となるようにとり、
，
，
とおく。さらに、3点D，E，Fを、
，
，
となるようにとり、線分BDの中点をL，線分CEの中点をMとし、線分ADを3：1に内分する点をNとする。
，
と表される。
(2) 2直線FL，MNが交わることを確かめよう。
とし、線分FLをs：
に内分する点をPとする。
は、sと
，
，
を用いて と表される。
のとき、
となるので、M，N，Pは一直線上にある。よって、2直線FL，MNは交わることがわかる。
(3) 2直線FL，MNの交点をGとする。
，
は、
，
，
を用いて と表される。
，
，
とする。このとき、
，
となる。
次に、直線OC上に点Hをとり、実数t を用いて、
と表す。
，
は、t を用いて 
･･･①
･･･②と表される。
さらに、
とする。このときのt の値を求めよう。
，
と
であることから 
･･･③が成り立つ。①，②，③から、
である。 [解答へ]
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