センター数学IIB '12年第2問
座標平面上で曲線
をCとし、放物線
をDとする。
(1) 曲線C上の点P
におけるCの接線の方程式は である。放物線Dは点Pを通り、DのPにおける接線と、CのPにおける接線が一致するとする。このとき、pとqをaを用いて表すと
･･･①となる。
以下、p，qは①を満たすとする。
(2) 放物線Dがy軸上の与えられた点Q
を通るとき 
･･･②が成り立つ。与えられたbに対して、②を満たすaの値の個数を調べよう。
そのために、関数
の増減を調べる。関数
は、
で極小値
をとり、
で極大値
をとる。
関数
のグラフをかくことにより、
のとき、②を満たすaの値の個数は
であることがわかる。
(3) 放物線Dの頂点がx軸上にあるのは、
の二つの場合である。
のときの放物線を
，
のときの放物線を
とする。
，
とx軸で囲まれた図形の面積は
である。
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解答 最後の面積のところの答え方に驚かされますが、数学Ⅱの微積分の基本問題です。
C：
･･･③D：
･･･④
(1) ③を微分して、
(ア) 2 (イ) 2 (ウ) 3 ......[答]④を微分して、
DのPにおける接線と、CのPにおける接線が等しいとき、両者の
におけるy座標と接線の傾きが等しく、 
･･･⑤
これより、
⑤に代入して、
∴ 
(エ) 2 (オ) 2 (カ) － (キ) 2 (ク) 2 ......[答]
(2) 放物線Dは、
Q
を通るので、 
･･･②(ケ) － (コ) 2 (サ) 2 ......[答]
増減表より、
で極大値：0，
で極小値：
(3次関数の増減を参照)
(シ) 0 (ス) 0 (セ) 1 (ソ) 3 (タ) 1 (チ) 2 (ツ) 7 ......[答]
のとき、②を満たすaの値の個数は3。(テ) 3 ......[答]
(3)⑥より、
放物線Dの頂点がx軸上にあるとき、
∴ 
(ト) 0 (ナ) 4 (ニ) 9 ......[答]
のとき、 より、放物線
は
をx軸正方向に、
だけ平行移動した放物線で、 
，
とx軸で囲まれた図形の面積Sは、放物線が軸に関して対称なことから、(ヌ) 4 (ネ) 1 (ノ) 0 ......[答]
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