センター試験数学IIB 2013年問題
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[1][1] Oを原点とする座標平面上に2点A,Bをとり、線分ABを2:1に内分する点をP,1:2に外分する点をQとする。3点O,P,Qを通る円をCとする。
(1) Pの座標は(,)であり、Qの座標は(,)である。 (2) 円Cの方程式を次のように求めよう。線分OPの中点を通り、OPに垂直な直線の方程式は
であり、線分PQの中点を通り、PQに垂直な直線の方程式は
である。
これらの2直線の交点が円Cの中心であることから、円Cの方程式は
であることがわかる。
(3) 円Cとx軸の二つの交点のうち、点Oと異なる交点をRとすると、Rは線分OAを:1に外分する。
[2] 連立方程式
(*) を満たす実数x,y,zを求めよう。ただし、とする。
,,とおくと、によりである。(*)から、X,Y,Zの関係式 が得られる。
この関係式を利用すると、t の3次式は となる。したがって、により である
[解答へ]
[2] aを正の実数として、xの関数を
とする。
関数は、で極大値をとり、で極小値をとる。このとき、2点
, と原点を通る放物線
をCとする。原点におけるCの接線の方程式は
である。また、原点を通りに垂直な直線mの方程式は
である。
x軸に関して放物線Cと対称な放物線
をDとする。Dとで囲まれた図形の面積Sは
である。
放物線Cと直線mの交点のx座標は、0とである。Cとmで囲まれた図形の面積をTとする。となるのはのときであり、このとき、である。
[解答へ]
[3](1) 数列は次を満たすとする。
数列の一般項と、初項から第n項までの和を求めよう。まず、@から () となるので、数列の一般項は である。したがって、自然数nに対して
である。
(2) 正の数からなる数列は、初項から第3項が,,であり、すべての自然数nに対して ・・・A を満たすとする。また、数列,を、自然数nに対して、,で定める。数列,の一般項を求めよう。まず、Aから である。したがって、となるので () ・・・B と推定できる。
Bを示すためには、から、すべての自然数nに対して ・・・C であることを示せば良い。このことを「まず、のときCが成り立つことを示し、次に、のときCが成り立つと仮定すると、のときもCが成り立つことを示す方法」を用いて証明しよう。この方法をという。に当てはまるものを、次の〜のうちから一つ選べ。
組立除法 弧度法 数学的帰納法 背理法
[U] のとき、Cが成り立つ、すなわち、 ・・・D と仮定する。のとき、Aのnにを代入して得られる等式と、を代入して得られる等式から , となるので、は と表される。したがって、Dにより、が成り立つので、Cはのときにも成り立つ。[T],[U]により、すべての自然数nに対してCの成り立つことが証明された。
したがって、Bが成り立つので、数列の一般項はである。
次に、Aのnをに置き換えて得られる等式とBから となり、であることと@から、数列の一般項は、(1)で求めた数列の一般項と等しくなることがわかる。 [解答へ]
[4] ,,である平行四辺形OABCにおいて、線分OAを3:2に内分する点をDとする。また、点Aを通り直線BDに垂直な直線と直線OCの交点をEとする。ただし、とする。
以下、,とおき、実数t を用いてと表す。
(1) t をを用いて表そう。 となるので、により ・・・@ となる。
(2) 点Eは線分OC上にあるとする。θ のとり得る値の範囲を求めよう。ただし、線分OCは両端の点O,Cを含むものとする。以下、とおく。 点Eが線分OC上にあることから、である。なので、@の右辺のをrに置き換えた分母は正である。したがって、条件は ・・・A となる。
rについての不等式Aを解くことにより、θ のとり得る値の範囲は
であることがわかる。
(3) とする。直線AEと直線BDの交点をFとし、三角形BEFの面積を求めよう。@により、となり となる。したがって、点Fは線分AEを1:に内分する。このことと、平行四辺形OABCの面積はであることから、三角形BEFの面積はである。 [解答へ]
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