センター試験数学IIB 2013年問題
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[1][1] Oを原点とする座標平面上に2点A
，B
をとり、線分ABを2：1に内分する点をP，1：2に外分する点をQとする。3点O，P，Qを通る円をCとする。
(1) Pの座標は(
，
)であり、Qの座標は(
，
)である。 (2) 円Cの方程式を次のように求めよう。線分OPの中点を通り、OPに垂直な直線の方程式は
であり、線分PQの中点を通り、PQに垂直な直線の方程式は
である。
これらの2直線の交点が円Cの中心であることから、円Cの方程式は
であることがわかる。
(3) 円Cとx軸の二つの交点のうち、点Oと異なる交点をRとすると、Rは線分OAを
：1に外分する。
[2] 連立方程式
(＊) 
を満たす実数x，y，zを求めよう。ただし、
とする。
，
，
とおくと、
により
である。(＊)から、X，Y，Zの関係式 が得られる。
この関係式を利用すると、t の3次式
は となる。したがって、
により である
[解答へ]
[2] aを正の実数として、xの関数
を
とする。
関数
は、
で極大値
をとり、
で極小値
をとる。このとき、2点
，
をCとする。原点におけるCの接線
の方程式は
である。また、原点を通り
に垂直な直線mの方程式は
である。
x軸に関して放物線Cと対称な放物線
をDとする。Dと
で囲まれた図形の面積Sは
である。
放物線Cと直線mの交点のx座標は、0と
である。Cとmで囲まれた図形の面積をTとする。
となるのは
のときであり、このとき、
である。
[解答へ]
[3](1) 数列
は次を満たすとする。
数列
の一般項と、初項から第n項までの和を求めよう。まず、①から 
(
)となるので、数列
の一般項は である。したがって、自然数nに対して
である。
(2) 正の数からなる数列
は、初項から第3項が
，
，
であり、すべての自然数nに対して 
･･･②を満たすとする。また、数列
，
を、自然数nに対して、
，
で定める。数列
，
の一般項を求めよう。まず、②から である。したがって、
となるので 
(
) ･･･③と推定できる。
③を示すためには、
から、すべての自然数nに対して 
･･･④であることを示せば良い。このことを「まず、
のとき④が成り立つことを示し、次に、
のとき④が成り立つと仮定すると、
のときも④が成り立つことを示す方法」を用いて証明しよう。この方法を
という。
に当てはまるものを、次の
～
のうちから一つ選べ。
組立除法 
弧度法 
数学的帰納法 背理法
[Ⅱ] 
のとき、④が成り立つ、すなわち、 
･･･⑤と仮定する。
のとき、②のnに
を代入して得られる等式と、
を代入して得られる等式から 
，
となるので、
は と表される。したがって、⑤により、
が成り立つので、④は
のときにも成り立つ。[Ⅰ]，[Ⅱ]により、すべての自然数nに対して④の成り立つことが証明された。
したがって、③が成り立つので、数列
の一般項は
である。
次に、②のnを
に置き換えて得られる等式と③から となり、
であることと①から、数列
の一般項は、(1)で求めた数列
の一般項と等しくなることがわかる。 [解答へ]
[4] 
，
，
である平行四辺形OABCにおいて、線分OAを3：2に内分する点をDとする。また、点Aを通り直線BDに垂直な直線と直線OCの交点をEとする。ただし、
とする。
以下、
，
とおき、実数t を用いて
と表す。
(1) t を
を用いて表そう。 となるので、
により 
･･･①となる。
(2) 点Eは線分OC上にあるとする。θ のとり得る値の範囲を求めよう。ただし、線分OCは両端の点O，Cを含むものとする。以下、
とおく。 点Eが線分OC上にあることから、
である。
なので、①の右辺の
をrに置き換えた分母
は正である。したがって、条件
は 
･･･②となる。
rについての不等式②を解くことにより、θ のとり得る値の範囲は
であることがわかる。
(3) 
とする。直線AEと直線BDの交点をFとし、三角形BEFの面積を求めよう。①により、
となり となる。したがって、点Fは線分AEを1：
に内分する。このことと、平行四辺形OABCの面積は
であることから、三角形BEFの面積は
である。 [解答へ]
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，
，
，
，
から
，
，
，
(
) ･･･①
，
，
，
のとき、
，
であることから④は成り立つ。
，
，
