センター数学IIB '13年第2問
aを正の実数として、xの関数
を
とする。
関数
は、
で極大値
をとり、
で極小値
をとる。このとき、2点
，
をCとする。原点におけるCの接線
の方程式は
である。また、原点を通り
に垂直な直線mの方程式は
である。
x軸に関して放物線Cと対称な放物線
をDとする。Dと
で囲まれた図形の面積Sは
である。
放物線Cと直線mの交点のx座標は、0と
である。Cとmで囲まれた図形の面積をTとする。
となるのは
のときであり、このとき、
である。
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解答 以前の微積の問題と比べるとかなり計算しやすくなっていますが、面積以降はかなり煩雑です。
は
で極大値
をとり、
で極小値
をとる(3次関数の増減を参照)。
(ア) − (イ) a (ウ) 3 (エ) 3 (オ) a (オ) − (カ) 3 ......[答]
放物線Cの方程式を、
とすると、
原点を通るので、
を通るので、
を通るので、
∴ 
，
C：
(ク) a (ケ) 2 (コ) 2 ......[答]
原点におけるCの接線
の傾きは、
：
原点を通り
に垂直な直線mの傾きは、
m：
(セ) 2 (ソ) 2 ......[答]
x軸に関して放物線Cと対称な放物線D：
Dと
を連立すると、
∴ 
Dと
で囲まれた図形の面積Sは、
(タ) 3 (チ) 2 (ツ) 3 (テ) 4 ......[答]
Cとmを連立すると、
∴ 
(ト) 4 (ナ) 3 ......[答]
Cとmで囲まれた図形の面積Tは、
とすると、
，
，
∴ 
(ニ) 1 (ヌ) 4 (ネ) 8 (ノ) 3 ......[答]
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