共通テスト数学IIB '22年第1問
[1] 座標平面上に点A
をとる。また、不等式 の表す領域をDとする。
の解答群
周 
内部 
外部
周および内部 
周および外部
以下、点
をQとし、方程式の表す図形をCとする。
(2) 点Aを通る直線と領域Dが共有点をもつのはどのようなときかを考えよう。
(i) (1)により、直線
は点Aを通るCの接線の一つとなることがわかる。 太郎さんと花子さんは点Aを通るCのもう一つの接線について話している。
点Aを通り、傾きがkの直線を
とする。
太郎：直線
の方程式は
と表すことができるから、これを に代入することで接線を求められそうだね。
花子：x軸と直線AQのなす角のタンジェントに着目することでも求められそうだよ。
(ii) 太郎さんの求め方について考えてみよう。
を
に代入すると、xについての2次方程式が得られる。この方程式が
のときのkの値が接線の傾きとなる。
の解答群
重解をもつ
異なる二つの実数解をもち、一つは0である
異なる二つの正の実数解をもつ
正の実数解と負の実数解をもつ
異なる二つの負の実数解をもつ
異なる二つの虚数解をもつ
(iii) 花子さんの求め方について考えてみよう。
x軸と直線AQのなす角をθ (
)とすると であり、直線
と異なる接線の傾きは
と表すことができる。
の解答群
θ 
(iv) 点Aを通るCの接線のうち、直線
と異なる接線の傾きを
とする。このとき、(ii)または(iii)の考え方を用いることにより であることがわかる。
直線
と領域Dが共有点をもつようなkの値の範囲は
である。
の解答群
[2] a，bは正の実数であり、
，
を満たすとする。太郎さんは
，
の大小関係を調べることにした。
(1) 太郎さんは次のような考察をした。
まず、
，
である。この場合 が成り立つ。
一方、
，
である。この場合 が成り立つ。
(2) ここで
･･･①とおく。
(1)の考察をもとにして、太郎さんは次の式が成り立つと推測し、それが正しいことを確かめることにした。
･･･②①により、
である。このことより
が得られ、②が成り立つことが確かめられる。
の解答群
の解答群
(3) 次に、太郎さんは(2)の考察をもとにして
･･･③を満たす実数t (
)の値の範囲を求めた。
太郎さんの考察
ならば、③の両辺にt を掛けることにより、
を得る。このようなt (
)の値の範囲は
である。
ならば、③の両辺にt を掛けることにより、
を得る。このようなt (
)の値の範囲は
である。この考察により、③を満たすt (
)の値の範囲は 
，
であることがわかる。
ここで、aの値を一つ定めたとき、不等式
･･･④を満たす実数b (
，
)の値の範囲について考える。
④を満たすbの値の範囲は、
のときは
であり、
のときは
である。
の解答群
，
，
，
，
の解答群
，
，
，
，
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解答 数学IAとの落差に唖然とさせられますが、共通テストとしては、本問の方針があるべき姿だと思います。
[1] 点
領域D：
より、Dは、中心
，半径5の円の周及び内部です(円の方程式を参照)。
ア 2 イ 5 ウ 5 エ 3 ......[答] C：
，
･･･⑤ (2)(i) 直線
(x軸)は点Aを通ります。円Cの中心のy座標と半径が一致するので、円Cはx軸に接します(円と直線の位置関係を参照)。 オ 0 ......[答]
(ii) 点Aを通り、傾きがkの直線
は、 
：
これを⑤に代入すると、
この方程式が重解をもつときのkの値が接線の傾きになります。
カ 0 ......[答]
(iii) Qからx軸に下ろした垂線の足
をRとします。 キ 1 ク 2 ......[答]
AからCに引いた2本の接線は、直線AQに関して対称なので、Cに接する直線
とx軸のなす角は
で、この直線
の傾きは
です。
ケ 1 ......[答] (iv) 花子さんの考え方の方がラクです。
より、 コ 4 サ 3 ......[答]直線
と領域Dが共有点をもつようなkの値の範囲は
シ 5 ......[答]
ス 2 ......[答]
セ 8 ......[答]
(2) 
･･･① 
･･･②
①より、
で、
です。
ソ 1 タ 1 ......[答](3) 
･･･③ 太郎さんの考察より、
ならば、
ならば、
③を満たすt の範囲は、
または 
･･･⑥①より、
∴ 
または 
･･･⑦ ∴ 
または 
･･･⑧ チ 3 ツ 0 ......[答]
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，半径が
の円の
である。
，
，
とする。
である。
の解答群
かつ
かつ
かつ
かつ
，
，
，
より、
より、
のとき、
または 
のとき、
または 
，
，
とすると、
です。
，bを
とみると、⑧を満たします。つまり、
，
，bを
とみると、⑦を満たします。つまり、
，
