共通テスト数学IIB '22年第1問 

[1] 座標平面上に点Aをとる。また、不等式
の表す領域をDとする。

(1) 領域Dは、中心が点,半径がの円のである。

の解答群
 周   内部   外部
 周および内部   周および外部

以下、点
Qとし、方程式
の表す図形をCとする。
(2) Aを通る直線と領域Dが共有点をもつのはどのようなときかを考えよう。
(i) (1)により、直線は点Aを通るCの接線の一つとなることがわかる。
太郎さんと花子さんは点Aを通るCのもう一つの接線について話している。
Aを通り、傾きがkの直線をとする。

太郎:直線の方程式はと表すことができるから、これを
に代入することで接線を求められそうだね。
花子:x軸と直線AQのなす角のタンジェントに着目することでも求められそうだよ。

(ii) 太郎さんの求め方について考えてみよう。
に代入すると、xについての2次方程式
が得られる。この方程式がのときのkの値が接線の傾きとなる。

の解答群
 重解をもつ
 異なる二つの実数解をもち、一つは
0である
 異なる二つの正の実数解をもつ
 正の実数解と負の実数解をもつ
 異なる二つの負の実数解をもつ
 異なる二つの虚数解をもつ


(iii) 花子さんの求め方について考えてみよう。
x軸と直線AQのなす角をθ ()とすると
であり、直線と異なる接線の傾きはと表すことができる。

の解答群
 
θ      
       
    


(iv) Aを通るCの接線のうち、直線と異なる接線の傾きをとする。このとき、(ii)または(iii)の考え方を用いることにより
であることがわかる。
直線と領域
Dが共有点をもつようなkの値の範囲はである。

の解答群
    
    
    



[2] abは正の実数であり、を満たすとする。太郎さんはの大小関係を調べることにした。

(1) 太郎さんは次のような考察をした。
まず、である。この場合
が成り立つ。
一方、である。この場合
が成り立つ。
(2) ここで
 ・・・@
とおく。
(1)の考察をもとにして、太郎さんは次の式が成り立つと推測し、それが正しいことを確かめることにした。
 ・・・A
@により、である。このことよりが得られ、Aが成り立つことが確かめられる。

の解答群
       
       

の解答群
       
       


(3) 次に、太郎さんは(2)の考察をもとにして
 ・・・B
を満たす実数t ()の値の範囲を求めた。

太郎さんの考察
ならば、Bの両辺にt を掛けることにより、を得る。このようなt ()の値の範囲はである。
ならば、Bの両辺に
t を掛けることにより、を得る。このようなt ()の値の範囲はである。

この考察により、Bを満たすt ()の値の範囲は
であることがわかる。
ここで、
aの値を一つ定めたとき、不等式
 ・・・C
を満たす実数b ()の値の範囲について考える。
Cを満たす
bの値の範囲は、のときはであり、のときはである。

の解答群
    
    

の解答群
    
    
(4) とする。
次ののうち、正しいものはである。

の解答群
 かつ
 かつ
 かつ
 かつ


解答 数学IAとの落差に唖然とさせられますが、共通テストとしては、本問の方針があるべき姿だと思います。

[1] 点

領域D
(1) 領域D
より、Dは、中心,半径5の円の周及び内部です。
ア 
2 イ 5 ウ 5 エ 3 ......[]
C ・・・D
(2)(i) 直線 (x)は点Aを通ります。円Cの中心のy座標と半径が一致するので、円Cx軸に接します。
オ 0 ......[]
(ii) Aを通り、傾きがkの直線は、
これをDに代入すると、
この方程式が重解をもつときのkの値が接線の傾きになります。
カ 
0 ......[]
(iii) Qからx軸に下ろした垂線の足Rとします。
キ 1 ク 2 ......[]
A
からCに引いた2本の接線は、直線AQに関して対称なので、Cに接する直線x軸のなす角はで、この直線の傾きはです。
ケ 
1 ......[]
(iv) 花子さんの考え方の方がラクです。
コ 4 サ 3 ......[]
直線と領域Dが共有点をもつようなkの値の範囲は
シ 
5 ......[]

[2] 
(1)
ス 2 ......[]
より、
より、
セ 8 ......[]
(2)  ・・・@
 ・・・A
@より、で、です。
ソ 
1 タ 1 ......[]
(3)  ・・・B
太郎さんの考察より、
ならば、
ならば、
Bを満たす
t の範囲は、 ・・・E
@より、
のとき、
 ・・・F
のとき、
 ・・・G
チ 3 ツ 0 ......[]
(4) とすると、です。
Cのabとみると、Gを満たします。つまり、
このとき、
Cの
abとみると、Fを満たします。つまり、
このとき、
テ 
2 ......[]


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