共通テスト数学IIB '22年第4問
以下のように、歩行者と自転車が自宅を出発して移動と停止を繰り返している。歩行者と自転車の動きについて、数学的に考えてみよう。
自宅を原点とする数直線を考え、歩行者と自転車をその数直線上を動く点とみなす。数直線上の点の座標がyであるとき、その点は位置yにあるということにする。また、歩行者が自宅を出発してからx分経過した時点を時刻xと表す。歩行者は時刻0に自宅を出発し、正の向きに毎分1の速さで歩き始める。自転車は時刻2に自宅を出発し、正の向きに毎分2の速さで歩行者を追いかける。自転車が歩行者に追いつくと、歩行者と自転車はともに1分だけ停止する。その後、歩行者は再び正の向きに毎分1の速さで歩き出し、自転車は毎分2の速さで自宅に戻る。自転車は自宅に到着すると、1分だけ停止した後、再び毎分2の速さで歩行者を追いかける。これを繰り返し、自転車は自宅と歩行者の間を往復する。
を自転車がn回目に自宅を出発する時刻とし、
をそのときの歩行者の位置とする。
(1) 花子さんと太郎さんは、数列
，
の一般項を求めるために、歩行者と自転車について、時刻xにおいて位置yにいることをOを原点とする座標平面上の点
で表すことにした。
，
により、自転車が最初に自宅を出発するときの時刻と自転車の位置を表す点の座標は
であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は
である。また、自転車が最初に歩行者に追いつくときの時刻と位置を表す点の座標は
である。よって
，
花子：数列
，
の一般項について考える前に、
の求め方について整理してみようか。
太郎：花子さんはどうやって求めたの。
花子：自転車が歩行者を追いかけるときに、間隔が1分間に1ずつ縮まっていくことを利用したよ。
太郎：歩行者と自転車の動きをそれぞれ直線の方程式で表して、交点を計算して求めることもできるね。
自転車がn回目に自宅を出発するときの時刻と自転車の位置を表す点の座標は
であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は
である。よって、n回目に自宅を出発した自転車が次に歩行者に追いつくときの時刻と位置を表す点の座標は、
，
を用いて、
と表せる。
，
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
以上から、数列
，
について、自然数nに対して、関係式 
･･･①
･･･②が成り立つことがわかる。まず、
と②から 
(
)を得る。この結果と、
および①から 
(
)がわかる。
，
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) 
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解答 計算のややこしい高レベルの連立漸化式の問題です。問題文が長く錯綜するので、
，
が何を指しているか、(2)で何をすれば良いか、問題文の読解力も大切です。ケとコは、
などを代入して1桁の整数を決める、という答え方ができないように、nの式を選択する形式になっていて、出題法の工夫が見られます。
1回目に自転車が出発するのは時刻2なので、
，このときに歩行者は距離2進んでいるので、
です。
(1) 歩行者と自転車の距離2を速さの差1で追いかけるので、
時刻2に出発した自転車が追いつく時刻は
，時刻と位置を表す点の座標は
です。
ア 4 ......[答]時刻5に自転車が、距離4を速さ2で自宅に戻って時刻
に自宅に着き、時刻8に出発するので、
，歩行者は時刻5から速さ1で進むと時刻8には
に来るので、
イ 8 ウ 7 ......[答]以後、花子方式で連立漸化式を作ります。
から考えて、歩行者と自転車の距離
を速さの差1で追いかけるので、追いつくまでに
分かかり、追いつく時刻は
，この間歩行者は
分に
進むので、追いつく位置は、
，時刻と位置を表す点の座標は
です。
エ 3 オ 4 ......[答]追いついた後、自転車は、時刻
に自宅に向かって出発し、距離
を速さ2で進み、時刻
に自宅に着き、時刻
に出発するので、 
･･･①カ 2 キ 2 ......[答]歩行者は時刻
から速さ1で進むと時刻
には、 
･･･②に来ます(2項間漸化式を参照)。
ク 1 ......[答]②で、
，
をαで置き換えると、 
･･･③ ∴ 
②－③より、
∴ 
ケ 7 ......[答]
①に代入すると、
コ 9 ......[答]
(2) エオより、n回目に自転車が追いつく位置は300未満なので、
∴ 
よって、
，
より
となり、位置300未満に到着するまでに自転車が歩行者に追いつく回数は4回です。
サ 4 ......[答]エオより、4回目に自転車が歩行者に追いつく時刻は、 シスセ 137 ......[答]
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の位置に到着するときまでに、自転車が歩行者に追いつく回数は
回である。また、
回目に自転車が歩行者に追いつく時刻は、
である。
，公比