共通テスト数学IIB '23年第1問 

[1] 三角関数の値の大小関係について考えよう。

(1) のときであり、のときである。

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
 <   =   >

(2) の値の大小関係を詳しく調べよう。
であるから、が成り立つことは
 かつ 」 ・・・@
または
 かつ 」 ・・・A
が成り立つことと同値である。のとき、@が成り立つようなxの値の範囲は
であり、Aが成り立つようなxの値の範囲は
である。よって、のとき、が成り立つようなxの値の範囲は
である。

(3) の値の大小関係を調べよう。
三角関数の加法定理を用いると、等式
 ・・・B
が得られる。を満たすαβに対してBを用いることにより、が成り立つことは
 かつ 」 ・・・C
または
 かつ 」 ・・・D
が成り立つことと同値であることがわかる。
のとき、C,Dにより、が成り立つような
xの値の範囲は
である。

の解答群
(同じものを繰り返し選んでもよい。)
 0   x      
         
          

(4) (2)(3)の考察から、のとき、が成り立つようなxの値の範囲は
であることがわかる。

[2](1) のとき、とおくと、が成り立つ。

の解答群
    
    
    

(2) 様々な対数の値が有理数か無理数かについて考えよう。
(i) であり、どちらも有理数である。

(ii) が有理数と無理数のどちらであるかを考えよう。
が有理数であると仮定すると、であるので、二つの自然数pqを用いてと表すことができる。このとき、(1)によりと変形できる。いま、2は偶数であり3は奇数であるので、を満たす自然数pqは存在しない。
したがって、は無理数だとわかる。

(iii) ab2以上の自然数とするとき、(ii)と同様に考えると、「ならばはつねに無理数である」ことがわかる。

の解答群
       
       

の解答群
 aが偶数
 
bが偶数
 
aが奇数
 
bが奇数
 
abがともに偶数、またはabがともに奇数
 
abのいずれか一方が偶数で、もう一方が奇数


解答 昨年の第1問と同様、基礎学力を見る共通テストとしては、本問の方針があるべき姿だと思います。

[1](1) のとき、より、 ア 0 ......[]
のとき、より、 イ 2 ......[]

(2)  ウ 2 エ 1 ......[]
のとき、
@が成り立つなら、よりよりまたは,よって、 オ
3 ......[]
Aが成り立つなら、よりより,よって、 カ 5 キ 3 ......[]
つまり、のときが成り立つxの範囲は、 ・・・E

(3) より、
が成り立つことは、
 かつ 」 ・・・C
a ケ 7 ......[]
または、
 かつ 」 ・・・D
が成り立つことと同値です。
のとき、
Cより、「」かつ ∴

Dではが不成立。
よって、となる
xの範囲は、
 ・・・F
7 サ 3 シ 7 ス 5 セ 7 ......[]

(4) のとき、Fより、となるのは、 (のとき、)
となるのは、Eを利用して、 ∴
よって、が成り立つような
xの範囲は、
6 タ 5 チ 6 ......[]

[2](1)  ツ 2 ......[]

(2)(i)  テ 2 ......[]
 ト 3 ナ 2 ......[]

(ii) 自然数pqを用いて、とおくと、
両辺をq乗して、 ニ 5 ......[]
は偶数で、は奇数なので、両者が等しくなることはなく、が成立しないので、は有理数ではなく、無理数です。
同様に、自然数
pqを用いて、とおくと、
両辺を
q乗して、
abの偶奇が異なる時、この等式は成立せず、は無理数です。 ヌ 5 ......[]


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