共通テスト数学IIB '23年第2問 

[1](1) kを正の定数とし、次の3次関数を考える。
のグラフとx軸との共有点の座標はである。
の導関数
である。
のとき、は極小値をとる。
のとき、は極大値をとる。
また、の範囲においてのときは最大となることがわかる。

の解答群
(同じものを繰り返し選んでもよい。)
 0         
 
k         
          

(2) 右の図のように底面が半径9の円で高さが15の円錐に内接する円柱を考える。円柱の底面の半径と体積をそれぞれxVとする。Vxの式で表すと
 ()
である。(1)の考察より、のときVは最大となることがわかる。Vの最大値はである。


[2](1) 定積分の値はである。
また、関数の不定積分は
である。ただし、Cは積分定数とする。
(2) ある地域では、毎年3月頃「ソメイヨシノ(桜の種類)の開花予想日」が話題になる。太郎さんと花子さんは、開花日時を予想する方法の一つに、2月に入ってからの気温を時間の関数とみて、その関数を積分した値をもとにする方法があることを知った。ソメイヨシノの開花日時を予想するために、二人は図16時間毎の気温の折れ線を見ながら、次のように考えることにした。
xの値の範囲を0以上の実数全体として、21日午前0時から時間経った時点をx日後とする。(例えば、10.3日後は211日午前712分を表す。)また、x日後の気温をy℃とする。このとき、yxの関数であり、これをとおく。ただし、yは負にはならないものとする。
気温を表す関数を用いて二人はソメイヨシノの開花日時を次の
設定で考えることにした。

設定−−−−−−−−−−−−−
正の実数
t に対して、0からt まで積分した値をとする。すなわち、とする。この400に到達したとき、ソメイヨシノが開花する。
−−−−−−−−−−−−−−−−


設定のもと、太郎さんは気温を表す関数のグラフを図2のように直線とみなしてソメイヨシノの開花日時を考えることにした。
(i) 太郎さんは、
 ()
として考えた。このとき、ソメイヨシノの開花日時は2月に入ってからとなる。

の解答群
 30日後   35日後   40日後
 
45日後   50日後   55日後
 
60日後   65日後

(ii) 太郎さんと花子さんは、2月に入ってから30日後以降の気温について話をしている。

−−−−−−−−−−−−−−−−
太郎:1次関数を用いてソメイヨシノの開花日時を求めてみたよ。
花子:気温の上がり方から考えて、2月に入ってから30日後以降の気温を表す関数が2次関数の場合も考えてみようか。
−−−−−−−−−−−−−−−−

花子さんは気温を表す関数を、のときは太郎さんと同じように
とし、のときは
として考えた。なお、のとき@の右辺の値とAの右辺の値は一致する。花子さんの考えた式を用いて、ソメイヨシノの開花日時を考えよう。(1)より
であり、
となることがわかる。
また、の範囲においては増加する。よって
であることがわかる。以上より、ソメイヨシノの開花日時は2月に入ってからとなる。

の解答群
 <   =   >

の解答群
 30日後より前
 
30日後
 
30日後より後、かつ40日後より前
 
40日後
 
40日後より後、かつ50日後より前
 
50日後
 
50日後より後、かつ60日後より前
 
60日後
 
60日後より後


解答 基本問題ですが、第1問同様に、出題者の意図をよく把握して無駄な計算をしないように解答する必要があります。

[1](1) とすると、のグラフとx軸との共有点の座標は、 ア 4 ......[]
を微分すると、 イウ  エ 2 ......[]
とすると、,増減表は以下のようになります。
x 0 
00
0

のとき、は極小値0をとります。 オ 0 カ 0 ......[]
のとき、は極大値をとります。 キ 3 ク 9 ......[]
の範囲において、のときが最大値をとることがわかります。 ・・・()

(2) 円柱の高さをhとすると、円錐の頂点と底面の円の直径を含む断面における三角形の相似より、15 = x9 ∴
円柱の体積は、
 ケ 5 コ 3 サ 9 ......[]
(1)と見比べて、とすると、()より、のときVは最大になります。 シ 6 ......[]
V
の最大値は、 スセソ 180 ......[]

[2](1)  タチツ 180 ......[]
 テトナ 300 ニヌ 12 ネ 5 ......[]

(2)(i)
となったときに開花するので、

 ∴ ()
つまり、2月に入ってから50日後に開花します。 ノ 4 ......[]
(ii)
においては増加するので、 ハ 0 ......[]
これより、
よって、ソメイヨシノは40日後には開花しておらず、50日後には既に開花しています。つまり、40日後より後、かつ50日後より前に開花します。 ヒ 4 ......[]
注.となるので、においては増加です。また、とすると、
より、以外に、においても値が一致します。



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