共通テスト数学IIB '24年第1問 

[1](1) とする。関数のグラフについて考えよう。
(i) のグラフは点を通る。また、のグラフは点を通る。
(ii) のグラフは、kの値によらず定点を通る。
(iii) のとき、
のグラフの概形は
のグラフの概形は
である。

については、最も適当なものを、右図ののうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
(2) とする。について考えよう。

(i) 座標平面において、方程式の表す図形を図示すると、の部分となる。

については、最も適当なものを、右図ののうちから一つ選べ。
(ii) 座標平面において、不等式の表す領域を図示すると、の斜線部分となる。ただし、境界(境界線)は含まない。

については、最も適当なものを、右図ののうちから一つ選べ。

[2] x2次式とする。xの整式で割ったときの商を,余りをとする。ただし、の係数は実数であるとする。

(1) の場合を考える。
方程式の解はである。
また、である。

(2) 方程式は異なる二つの解αβをもつとする。このとき
で割った余りが定数になる
ことと同値な条件を考える。
(i) 余りが定数になるときを考えてみよう。
仮定から、定数kを用いてとおける。このとき、。したがって、余りが定数になるとき、が成り立つ。

については、最も適当なものを、次ののうちから一つ選べ。
 が成り立つことから、となることが導かれる。また、が成り立つことから、となることが導かれる。
 かつが成り立つことから、となることが導かれる。
 が成り立つことから、となることが導かれる。また、が成り立つことから、となることが導かれる。
 かつが成り立つことから、となることが導かれる。

の解答群
    
    
(ii) 逆にが成り立つとき、余りが定数になるか調べよう。
2次式であるから、mnを定数としてとおける。mnを用いて表すと、となる。この等式のxαβをそれぞれ代入するととなるので、よりとなる。以上から余りが定数になることがわかる。

の解答群
    
    

の解答群
  かつ 
  かつ 
  かつ 
 
  かつ 

の解答群
     かつ 
  かつ    
     かつ 
    

(i)(ii)の考察から、方程式が異なる二つの解αβをもつとき、で割った余りが定数になることとであることとは同値である。

(3) pを定数とし、の場合を考える。で割った余りが定数になるとき、となり、その余りはとなる。


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解答 難易度としては、この程度が共通テストにふさわしいと思いますが、言葉遊びのような[][]の設問は考えものです。

[1](1)(i) のときより(対数関数を参照)のグラフは点を通る。 ア 3 ......[]
とすると、 ∴ のグラフは点を通る。 イウ 10 ......[]
(ii) のグラフは、kの値によらず定点を通ります。 エ 1 オ 0 ......[]
(iii) において、です。(ii)も考慮して、のグラフの概形はです。 カ 0 ......[]
より、のグラフの概形はです。 キ 5 ......[]

(2)(i) のとき、  ク 2 ......[]
(ii) のとき、
のとき、,つまり、
のとき、,つまり、
これを表す領域です。 ケ 2 ......[]

[2] xの整式で割ったときの商を,余りをとすると(多項式の除算を参照)

(1)
とすると、 コサ 2 シ 3 ......[]
割り算を実行すると、
よって、 ス 2 セ 1 ソタ 12 ......[]

(2) が二つの解αβを持つ  ・・・@
(i) 余りが定数になるとき、 (k:定数),つまり、
 ・・・A
[]の選択肢はどれも誤りではなく同じように見えますが、は、Aは導かれるわけではないので不適、は、@は導かれるわけでないので不適、は、「Aかつ@が成り立つことから」と言っているので、これを選びます。 チ 3 ......[]
余りが定数になるとき言えるのは、だけです(因数定理を参照)。 ツ 1 ......[]
(ii)  ・・・B, (mn:定数)とおくと、
 ・・・C テ 1 ......[]
Cのxαを代入すると、より、
Cのxβを代入すると、より、
よって、ト 1 ......[]
Bより、
より、 ナ
3 ......[]
以上より、余りは定数です。

(3)
2解は、
(2)より、の値が定数となる余りです。

より、 ∴  ニヌ 6 ......[]
余りは、 ネノ 14 ......[]



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