共通テスト数学IIB '24年第4問 

(1) 数列
()
を満たすとする。
のとき、である。
数列の一般項は、初項を用いて
と表すことができる。

(2) 数列
()
を満たすとする。
数列の一般項は、初項を用いて
と表すことができる。

(3) 太郎さんは、
() ・・・@
を満たす数列について調べることにした。
(i)
・数列が@を満たし、のとき、である。
・数列が@を満たし、のとき、である。
(ii) 太郎さんは、数列が@を満たし、となる場合について考えている。
のとき、がどのような値でも
が成り立つ。
・数列が@を満たし、のとき
である。
・数列が@を満たし、のとき
である。
(iii) 太郎さんは(i)(ii)から、となることがあるかどうかに着目し、次の命題Aが成り立つのではないかと考えた。

−−−−−−−−−−−−−−−−
命題A 数列が@を満たし、であるとする。このとき、すべての自然数nについてである。
−−−−−−−−−−−−−−−−

命題Aが真であることを証明するには、命題Aの仮定を満たす数列について、を示せばよい。
実際、このようにして
命題Aが真であることを証明できる。

については、最も適当なものを、次ののうちから一つ選べ。
 かつであること
 かつであること
 ならばであること
 のときが成り立つと仮定すると、のときもが成り立つこと
 のときが成り立つと仮定すると、のときもが成り立つこと
(iv) 次の(T)(U)(V)は、数列に関する命題である。
(T) かつであり、かつ@を満たす数列がある。
(U) かつであり、かつ@を満たす数列がある。
(V) かつであり、かつ@を満たす数列がある。
(T)(U)(V)の真偽の組み合わせとして正しいものはである。
の解答群
 
(T)
(U)
(V)


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解答 従来の数列の問題と比べてかなり軽い感じがしますが、良い傾向です。

(1) () ・・・A (漸化式を参照)
のとき、Aでとして、 ∴  アイ 24 ......[]
Aでとして、 ∴  ウエ 38 ......[]
階差数列の公式を用いて、
 オカ 14 ......[]

(2) () ・・・B (2項間漸化式を参照)
 ・・・C とすると、
B−Cより、

数列は、初項,公比等比数列
 キ 3 ク 1 ケ 2 コ 3 ......[]

(3) () ・・・@
(i)・@でとすると、のとき、

 ∴  サ 1 ......[]
・@でとすると、のとき、

 ∴  シス 3 ......[]
@でとすると、

 ∴  セソ 3 ......[]
(ii) ・@でとすると、のとき、

 ∴  タ 1 ......[]
・@でとすると、のとき、

 ∴  チツ 40 ......[]
(iii) 命題A数学的帰納法で証明します。
のとき、なので、命題Aは成り立ちます。
のとき命題Aが成り立つと仮定すると、
@でとすると、

なので、より、ですが、仮にとすると、になってしまうので、であり、のときも命題
Aが成り立ちます。
よって、数学的帰納法により、命題Aが成り立ちます。 テ 3 ......[]
(iv) 命題(T)なので、命題Aにより、すべての自然数nについてなのでであって、命題(T)は偽です。
命題(U)であれば、がどんな値であっても@が成立します。であれば、がどんな値であっても@が成立します。これを繰り返せば、であれば、がどんな値であっても@が成立します。であっても@が成立します。よって、命題(U)は真です。
命題(V):命題(U)と同様、であれば、がどんな値であっても@が成立します。であっても@が成立します。よって、命題(V)は真です。
4 ......[]


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