共通テスト数学IIB '24年第5問 

Oを原点とする座標空間に4ABCDがある。ABを通る直線をとし、CDを通る直線をとする。

(1)
であり、である。

(2) 花子さんと太郎さんは、点P上を動くとき、が最小となるPの位置について考えている。
P上にあるので、を満たす実数sがあり、が成り立つ。
が最小となる
sの位置を求めればPの位置が求まる。このことについて、花子さんと太郎さんが話をしている。

−−−−−−−−−−−−−−−−
花子:が最小となるsの値を求めればよいね。
太郎:が最小となるときの直線OPの関係に着目してもよさそうだよ。
−−−−−−−−−−−−−−−−

である。
また、が最小となるとき、直線
OPの関係に着目するとが成り立つことがわかる。
花子さんの考え方でも、太郎さんの考え方でも、のときが最小となることがわかる。

の解答群
    
    
 

の解答群
    
    
    
 

(3) P上を動き、点Q上を動くとする。このとき、線分PQの長さが最小になるPの座標はQの座標はである。


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解答 最後のセソタチツテトナニヌネノを除いて、例年のベクトルよりもずっと基本的問題です。最後も、かつては、頻出標準問題でした。なお、空間ベクトルを参照してください。

(1)  ア 1 イウ 1 エ 1 ......[] ・・・@
 ・・・A
 オ
0 ......[]
つまり、です。

(2)  カ 2 ......[]
 ・・・B (直線のベクトル方程式を参照)

 キ 3 クケ 12 コサ 54 ......[]
これより、花子さんの考え方で、のとき最小です。
最小のとき、なので、です。 シ
1 ......[]
太郎さんの考え方で、@,Bより、
 ∴  ス 2 ......[]

(3) Aを用いて、 ・・・C
B,Cより、
 ・・・D
花子さんの考え方では、
の最小値を調べるのですが、計算が大変です。
そこで、太郎さんの考え方でやってみます。最小のとき、かつとなるので、
(内積を参照)です。@,Dより、

 ∴
Bに代入して、
 セソ 3 タチ 12 ツテ 6 ......[]
Dに代入して、



 ∴
Cに代入して、
 トナ 7 ニヌ 12 ネノ 2 ......[]
別解.本問では、を活かして以下のように解答することもできます。
を含む平面をを含む平面をとすると、最小のとき、かつなので、の法線ベクトルはの法線ベクトルはです。よって、を定数として、平面の方程式は、

とおけます。Aを通るので
Cを通るので、
これより、

Pの交点で、Bより、
 ∴
Bに代入して、
Qの交点で、Cより、
 ∴
Cに代入して、



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