共通テスト数学IIBC '25年第4問
座標平面上で、x座標とy座標がともに整数である点を格子点という。いくつかの直線や曲線で囲まれた図形の内部にある格子点の個数を考えよう。ただし、図形の内部は、境界(境界線)を含まないものとする。
例えば、直線
とx軸，y軸で囲まれた図形をSとする。Sは図1の灰色部分であり、Sの内部にある格子点を黒丸、内部にない格子点を白丸で表している。したがって、Sの内部にある格子点の個数は6である。
(1) 直線
とx軸、直線
で囲まれた図形をTとする。Tの内部にある格子点の個数を考える。 直線
上の格子点でTの内部にあるものは、点
と点
の2個である。点
と点
はTの境界にあるため、内部にはない。nを整数とする。直線
がTの内部にある格子点を通るのは、
のときである。
のとき、直線
上の格子点でTの内部にあるものの個数を
とおく。
であり、
，
である。数列
は
が
の
数列である。
したがって、Tの内部にある格子点の個数は
である。
の解答群
公差 
公比
の解答群
等差 等比
(2) nを自然数とする。関数
のグラフとx軸，y軸および直線
で囲まれた図形をUとする。 kを整数とする。直線
がUの内部にある格子点を通るとき、直線
上の格子点でUの内部にあるものの個数は
である。
したがって、Uの内部にある格子点の個数は
(3) a，b，cは整数で、
，
を満たすとする。放物線
とx軸、y軸および直線
で囲まれた図形をVとする。すべての自然数nに対して、Vの内部にある格子点の個数が
となるのは、
，
，
のときである。
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解答 図1を使って考え方を教えてくれていますが、標準的な格子点の問題です。
(1) Tは、直線
とx軸、直線
で囲まれた図形です。 直線
上でTの内部にある格子点のy座標は
を満たします。これを満たす整数yは1と2なので、直線
上の格子点は
と
の
個あります。
直線
上の格子点のy座標は
を満たします。これを満たす整数yは1から5までの
個あります。 ア 5 ......[答]直線
上の格子点のy座標は
を満たします。これを満たす整数yは1から8までの
個あります。 イ 8 ......[答]直線
上の格子点のy座標は
を満たします。これを満たす整数yは1から
までの
個あります。
数列
は、公差3の等差数列です。 ウ 0 エ 3 オ 0 ......[答]従って、Tの内部にある格子点の個数は、 カキク 610 ......[答]
(2) Uは、関数
のグラフとx軸，y軸および直線
で囲まれた図形です。整数kに対して、直線
がUの内部にある格子点を通るとき、直線
上の格子点のy座標は
を満たします。これを満たす整数yは、1から
までの
個あります。 ケ 7 ......[答] Uの中で格子点を有する直線
の整数kは
を満たします。
よって、Uの内部にある格子点の個数Nは、 コ 1 ......[答]
サ 7 ......[答]
(3) 
，
なので、放物線
は、すべての実数xに対して
の部分に存在します。 Vは、放物線
とx軸、y軸および直線
で囲まれた図形です。整数kに対して、直線
が、Vの内部にある格子点を通るとき、直線
上の格子点のy座標は
を満たします。kは整数なので
ということはなく、これを満たす整数yは、
より1から
までの
個あります。
より、Vの内部にある格子点の個数Mは、 
となるのは、
，
，
(恒等式を参照)，即ち、
，
，
のときです。 シ 3 スセ −3 ソ 2 ......[答]
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