減衰振動関数 関連問題
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この項目については、物理への応用(その2)を参照してください。
，
として、xの関数：
の挙動について調べます。
この関数は、xを時間とみると、減衰振動している物体の座標を表す関数です。
まず、グラフを調べてみます。
δは、
，
を満たす角で、
，
より第2象限の角 (
)。
とすると、
よって、nを整数として、
∴ 
として、
のとき、
として、
のとき、
これより、
における増減表は以下のようになります。
より、
，
であることに注意してください。
増減表より、グラフは右図(黒が
，黄緑が
，緑が
，橙が
，但し、見易いようにy方向の縮尺を曲線ごとに変えています)。
は、
で極大、
で極小になりますが、減衰振動関数：
では、極大位置と極小位置が若干左にずれることに注意してください。
，
では、
，
が共有点をもつだけで、減衰振動関数は、極大、極小にはなりません。
のときには、
，
より、
，
において極大、
において極小。
のときには、
，
より、
，
において極大、
において極小。
減衰振動関数：
の
の部分とx軸で囲まれた部分の面積Sを求めるという問題が大学入試で頻出です。
のグラフは、jを整数として、
においては、
よりx軸の上側にあり、
においては、
よりx軸の下側にきます。面積を計算するに当たり、定型的な考え方をするのであれば、x軸の上側にくる部分と、x軸の下側に来る部分とに分けて計算する必要があります。
しかし、置換積分をすることにより、場合分けなしで計算する方法があります。
Sを式で表すと、
の範囲と
の範囲で積分区間を分ける必要があり、
となります。
ここで、
となっている積分区間を、
とするために、
とおきます。この置き換えをしっかり覚えてください。
tで両辺を微分して、
∴ 
x：
のとき、t：
よって、
ここで、
であり、
にはtが含まれず、tに関する積分の外に出すことができます。また、
つまり、
においては、
なので、
従って、
(部分積分法を参照)
∴ 
∴ 
∴ 
よって、求める面積Sは、
これは、初項：
，公比：
の無限等比級数であって、
より、
であり、無限等比級数は収束して和を持ちます。従って、
(最後に分母・分子に
をかけました)
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