熊本大理系数学'08年[4]
放物線C：
および点F
について考える。以下の問いに答えよ。ただし、Oは原点を表す。
(1) 放物線C上の点A
(
とする)に対して
，
とおく。rをθ を用いて表せ。 を満たすようにとる。極限
を求めよ。
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解答 放物線
の焦点は
，準線は
です。
(2)は、
は気がつけても、
だと気がつきにくいかも知れません。試験会場では、
を微分してみるとよいと思います。
A
から準線に垂線AHを下ろすと、H
です。FからAHに垂線FKを下ろすと、
ですが、
について、
について、
放物線上の点Aから焦点Fまでの距離と、点Aから準線までの距離AHは等しいので、
∴ 
......[答]追記．ここで得られた関係式は、放物線の、焦点Fを極とする極座標表示になっています。曲線上の点Aと定点Fまでの距離AF，Aから定直線に下ろした垂線をAHとして、 が定数になるとき、eを離心率と言います。この問題では、
であって、曲線は放物線になります。
では、曲線は楕円になり、
では双曲線になります。定点Fを焦点、定直線を準線と言います。なお、極座標を参照してください。
(2) (1)で導いた関係式で、
のとき、
だとして、 
(
のとき、
，
，
，
，
と見て定積分に直します。区分求積法を参照)
とおくと、
，x：
のとき、θ ：
(置換積分を参照)
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，
，･･･，
を
かつ 
(
)
は、
と書くと、焦点はF
，準線は
です。
......[