名工大数学'08年[2]
曲線
(
)上の点P
(
)における接線をlとし、l上の点でそのx座標が
となる点をQとおく。原点をOとして次の問いに答えよ。
(1) 
と
のなす角をθ とするとき、
をtを用いて表せ。 (3) 
，
とする。すべてのt (
)について
と
が直交し、
となる
を求めよ。
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解答 (3)は微分方程式の問題ですが、この程度なら「微分方程式」と言えるほどのものではなく、充分に高校の現行学習指導要領範囲内です。
(1) 
l：
lの式において
として、 ∴ 
......[答]θ は、
として考えることにします。
(2) 
のとき、
これらを(1)の結果に代入して、
これを
とおくと、 
とすると、
増減表より、
において、
のときに、
は最小(関数の増減を参照)で、
とすると、このときにθ最大となります(θ が増大するとき、
が減少することに注意)。θが最大となるtは、
......[答]
①より、
両辺をtで積分すると、
(C：積分定数)
より±は＋の方をとり、∴ 
tをxに書き換えて、
......[答]
追記．この問題と同様の発想をする問題に、'96年慶大理工[B1]：
座標平面上を運動するPがあって、時刻tにおける座標がtの微分可能な関数
，
によってP
で与えられている。同じ座標平面上を運動するもうひとつの点Qがあって、時刻tにおける座標がQ
で与えられている。ここでa，bは定数で
である。さらに、ベクトル
と
はつねに直交しているものとする。ただし、Oは原点
を表す。このとき次の問いに答えよ。 (1) ベクトル
の大きさ
は一定であることを示せ。 (以下省略)
があります。
より、
となりますが、
名工大の問題と同様に、
，
より(合成関数の微分法を参照)、
tで積分して、
(C：一定)
次のような問題も、微分方程式の問題とも言えますが、現行範囲内で充分に解答可能です。
y軸との交点が
である曲線
上の点
における接線の傾きが
のとき、
はどんな関数か。つねに
とする。
解答 
両辺をxで積分すると、
(
，不定積分の公式を参照)
(C：積分定数)
(
)
より、
......[答]
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，
，
のとき、θ が最大となるtを求めよ。
･･･①
が直交することから、
