岡山大理系数学'08年[3]
aを0以上の実数、nを正の整数とするとき、次の問いに答えよ。
(1) 
が成り立つことを示せ。
(2) 
が成り立つことを示せ。 (3) 
が成り立つことを示せ。
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解答 誘導がなければ難問ですが、親切な誘導がついているので、誘導通りにやれば大したことはありません。
(2)，(3)より、
，
のとき、
なので、
(
の場合については、極限の公式を参照)になると言いたいのだろうと思います。
なお、指数関数、積分を未履修の方は、指数関数、不定積分、定積分、不定積分の公式を参照してください。
よって、与式は示されました。
･･･②①より、
∴ 
･･･③
右辺の被積分関数は、
において、
，
，
より、 よって、
従って③より、
･･･④
②，④より、
(3) 証明すべき式の左辺は③の左辺に出てきます。③の右辺が
以下であることを言えばよいわけです。③の右辺に既に
がついているので、積分が
以下であればよい、ということになります。
なので、被積分関数の残りの部分について、
(定数以下という形を作る)を示したいのですが、(2)で、
が示されているので、
，
となるので解決します。結局、答案の流れは以下のようにすればよいでしょう。 
において、(2)より、
なので、両辺に
(
)をかけて、 よって、③右辺の被積分関数について、
∴ 
両辺に
をかければ、③より、 よって、与不等式が示せました。
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･･･①
，
より、
，よって、
(中カッコ内を
でくくります)
