静岡大理数学'08年後期[5]
は区間
で定義された連続関数であり、
を満たすとする。
(
)とする。次の問いに答えよ。
(1) 
，
および が成り立つことを示し、さらに
であることを示せ。 (2) nを自然数とし、
に対して、
は0または1とする。次の等式を証明せよ。 (3) 
に対して とする。ただし、
に対して、
は
を越えない最大の整数を表す。このとき、
(
)および であることを示せ。
(4) 
(
)であることを示せ。
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解答 (2)も数学的帰納法の形にするのが難しいのですが、(3)はさらに難解です。
(1) ②において、
とすれば、
②において、
とすれば、
として、②のxをyとすれば、
･･･③
②＋③より、
両辺を2で割り、 
･･･④一方、②のxを
とすれば、 これと④より、
，
に対して、 
･･･⑤①において、
，
とすると、 ⑤において、
，
とすると、 ∴ 
(2) 数学的帰納法だろう、という雰囲気は漂うのですが、問題は、どうやって、数学的帰納法の形にするか、ということです。(1)を使えば、
の場合は何とかなるでしょう。 
のとき、が成り立つとして、
のときの等式 を導くのに、①，⑤を利用することになるだろう、ということは予測がつきます。ここで考えるべきことは、①，⑤のx，yを何にするか、ということです。
が出てくるので、
のときの形
と何かを足して2で割ることになるでしょう。すると、
という形が出てきてしまいます。
ここに出てくる
，
，･･･，
は、
，
，･･･，
の分子、という意味ではありません。
のときの
と
のときの
が同じものでなければならない、という制約もありません。それぞれ、0か1を表す、というだけのことです。であれば、
のときと、
のときとで、
のiは同じ番号になっている必要はありません。
そこで、
のときの形
が出てくるように、
のときの形を、
ではなく、番号を1つずらして、
と書くことにします。これと
(0または1)を足して2で割ったものを
と考え、以下のようにします。 よって、
，
，いずれの場合においても、 が成立します。
(Ⅱ) 
のとき、k個の文字
，
，･･･，
(項の番号に意味はありません)をそれぞれ0または1だとして、 
･･･⑥が成立すると仮定します。
を0または1だとして、①，⑤のxを
，yを
とすると、 よって、
のときも成立します。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、nを自然数として、
が成立します。
(3) ここも数学的帰納法だろう、ということはわかりますが、与えられた数列をどう料理するのか、何をすれば、 
･･･⑦を示すことになるのか、見えてきません。ガウス記号
まで登場するのですが、まずは、問題文の 
，
から出発します。では、
，
ではどのようになるでしょうか？ Aを整数、Bを実数だとして、
なので、 です。続けていくと、
などとなるので、
となることが予想できます。これを数学的帰納法で導くようにします。また、
という形が出てくるので、⑦に
をかけてみると、 
･･･⑧となりますが、
，
，･･･，
，
，
，･･･ は、それぞれ0または1です。また、
より、すべての自然数iについて
となることはないのです。すべての自然数iについて
なら、初項
，公比
の無限等比級数の和が
となることから、
に反します。
よって、数列
の中には、
となる項があります。
同様に、あるjについて
で、
となるすべての自然数iについて
だとすれば、これは、
で、
となるすべての自然数iについて
であることと同じです。
従って、⑧の
，
，･･･ の中には0になるものがあり、 つまり、
･･･⑨ここで、指数と項番号を1ずつずらすと、
･･･⑩⑨－⑩×2より、
これで、先に予想した形が出てきます。これで、この設問の枠組みが見えてきました。
問題文の漸化式で与えられる数列
，
について、数学的帰納法により、 であることを示します。
(Ⅰ) 
のとき、
ですが、 ⑪で
とすると、 となります。
また、
より
です。
また、
よって、
のとき成立します。 (Ⅱ) 
のとき、⑪，⑫，
，⑬が成立すると仮定します。 です。
･･･⑮⑭，⑮より、
よって、
のときにも成立します。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、すべての自然数nについて、⑪，⑫，
，⑬が示せました。
⑬より、 “
(m：整数) ⇔ 
”より、 ∴ 
で割って、 
(nがすべての自然数であることに注意)
(4) 
と、
をみたす任意のxについて、(3)より、 の形に表せば、(2)より、
よって、
が連続な関数であることから、
追記．
は、曲線
上の2点
，
を通過する直線の方程式です。
曲線
上の2点
，
を通過する直線の傾きは
です。
曲線
上の2点
，
を通過する直線の傾きは
です。
だとして、曲線
上の2点を通過する直線の傾きが増加するとき、つまり、
であるとき、曲線
は「下に凸」である、と言います。このとき、
であることが平均値の定理を使って証明できます(曲線の凹凸を参照)。曲線
上の2点を通過する直線の傾きが減少するとき、つまり、
である場合には、曲線
は「上に凸」である、と言います。このときは
です。
ここで、
がx，
がy，
が
だとすると、
なので、曲線
が下に凸であれば、
となり、
が成立します。この不等式は、下に凸な曲線
上の点
は、この点の両側に位置する曲線上の2点
，
の中点
よりも下にある、ということを意味しています(図に描いてみれば明らかです)。
同様に、上に凸な曲線
上の点
は、この点の両側に位置する曲線上の2点
，
の中点
よりも上にあります。この事実は、証明問題などに応用できます(阪大理系'07年前期[2]を参照)。
本問では、
だと言っているのですが、
がx，yの存在範囲においては直線的になっていることを意味しています。本問は、結局、直線上の2点を結ぶ直線上の点は、もとの直線上の点になっている、つまり、
と
は同じ直線になる、ということを言っています。自明のことかも知れませんが、(3)では、2分法(2点の中点を考え、さらに、元の点と中点のそのまた中点を考えていく)のアルゴリズムを数列を使って一般的に考えようとしているので、難解な問題になっています。
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，
に対して、
，
に対して、
，
，
(
)
･･･①
(
) ･･･②
のとき、(1)より、
，
，
より、
･･･⑪
･･･⑫
･･･⑬
より
なので、
となります。
とすると、
，
，
･･･⑭
より
，
，よって、
