阪大理系数学'07年前期[2]
次の問いに答えよ。
(1) xが正の数のとき
を示せ。 (2) p，q，rが
を満たす正の数のとき
を示せ。 (3) a，b，cが相異なる正の数で
を満たすとき を示せ。
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解答 誘導通りにやって行けばできますが、全く別のアプローチでも解答可能なので下記の「追記」で紹介します。
(1) 絶対値がついたままではやりにくいので、絶対値記号内の正負で分けて考えることにします。
となるのは、
のときです。
となるのも、
のときです。
そこで、
のときと
のときとで分けて調べることにします。
とおきます。(i) 
のとき、 よって、
は減少関数で、
(関数の増減を参照)∴ 
･･･① (ii) 
のとき、 ①，②より、xが正の数のとき
となります。
(2) 技巧を使うまでもないと思います。
∴ 
･･･③ ④＋⑤＋⑥より、
この右辺を③を用いて書き換えると、
∴ 
注．上記では、相加平均、相乗平均の関係(不等式の証明を参照)を使うことを避けたので、p，q，rの中に負数があっても、与不等式は成立します。
(3) a，b，cは相異なるので、
として一般性を失いません(他の場合でも、3数の中の最小のものをa，最大のものをc，残りをbと入れ替えて考えればOK)。 (1)で示した不等式において、
とすると、
より、 両辺に
(
)をかけると、 
･･･⑦同様にして、(1)の不等式で
(
)とすることにより、 
･･･⑧両辺に
(
)をかけると、 左辺を、
として、 
･･･⑨⑦＋⑧＋⑨より、
･･･⑩この右辺を調べるために、(2)と同様、
の両辺を2乗します。 (2)の結果より、
のとき、
ですが、 ∴ 
⑩より、
追記．(1)の不等式に絶対値記号がついているので、(3)の答案では、
と仮定せずに、「(1)において、
，
，
として、⑦，⑧，⑨が言える」とだけ書いておくのが賢明でしょう。
この問題のように文字が複数個出てくる
のような形の不等式の証明問題で有効な技巧として、関数の凹凸に着目する、というものがあります。軽快でいて強力なので身につけておきたい技巧です。微分法の不等式への応用(2)も、3個以上の文字に関する相加平均・相乗平均の関係など、重要な例を紹介しているのでぜひ参照してください。
この問題の(2)でも関数
の凹凸を利用した証明が考えられます。曲線
は、
，
で下に凸、曲線上のどの点で接線を考えても、曲線は接線から上に来ます。
(
)として、
における接線は、
曲線上の点
，
，
は接線から上に来るので、
①＋②＋③より、
となります。
この問題の(3)は、(1)が強力なヒントになっているので(1)を利用して答えればよいのですが、仮に(3)がいきなり出てきたような場合、関数
の凹凸を利用することができます。
における接線は、
のとき
，
より、
･･･⑤
において
より、曲線
は接線から上に来ます。
において
より、曲線
は接線から下に来ます。
として、曲線上の点
は
より接線⑤より下に来るので、
両辺に
(
)をかけて、
･･･⑥
は
より接線⑤より下に来るので、
両辺に
(
)をかけて、
･･･⑦
は
より接線⑤より上に来るので、
両辺に
(
)をかけて(不等号の向きが変わります)、
･･･⑧
あとは上記の解答と同じく、
より
を導き、
となります。
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は増加関数で、
･･･②
，
，
が出てくるので、
の両辺を2乗して、
より、
･･･④
より、
･･･⑤
より、
･･･⑥
とすると、
より、
に注意して、
･･･①
･･･②
･･･③
