同志社大理工数学'09年[4]
双曲線C：
について次の問いに答えよ。
(1) Cの漸近線の方程式を記せ。
(2) mを任意の実数として、直線
が曲線Cに接していないことを示せ。 (3) 点A
を通るCの接線の方程式をすべて求めよ。 (4) C上にない点P
を通るCの接線がちょうど2本あって、2本の接線が直交するとき、p，qがみたすべき条件を求めよ。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 楕円：
の直交2接線の交点の軌跡は準円と呼ばれる円：
になることがよく知られていて入試でも頻出ですが、双曲線ではどうか、という問題です。
は、右図黒色実線のように、x軸をはさんで、
の部分と
の部分に分かれている曲線です(水色の直線は漸近線)。
(1) Cの漸近線は、Cの方程式①の右辺の
を0にすることによって得られます。 
，
......[答]
(2) 
･･･② ①，②を連立しyを消去して、
∴ 
･･･③
のときには、③を満たすxは存在しません。つまり、直線②はCと接点も交点ももちません。
のときには、
となり、これは重解ではないので、直線②はCと2交点をもちます(グラフで確認してください)。
よって、直線
が曲線Cに接することはありません。
(3) A
を通りx軸に垂直なCの接線はありません。そこで、傾きをmとして、Aを通る直線を、 
･･･④とおいて、①と連立します。
これは、
のときにxの2次方程式になります。Cと④は接するので、この2次方程式は重解をもちます。判別式
について、 ∴ 
(
を満たします)④より、Aを通る接線は、 
，
......[答]
(4) 計算の手間はほとんど変わらないので、
，
を用いて、双曲線を、 
･･･⑤として計算することにします。本問では、
，
です。P
を通りx軸に垂直な⑤の接線はありません。そこで、傾きをmとして、Pを通る直線を、 
･･･⑥とおいて、⑤と連立します。
これは、
のときにxの2次方程式になります。
⑤と⑥は接するので、この2次方程式は重解をもちます。判別式
について、 ⑦をmに関する2次方程式と見ると、2解を
，
として、2接線は直交するので、解と係数の関係を用いて、 ∴ 
･･･⑧
であれば、これはP
が原点を中心とし、半径
の円周上の点であることを意味し、楕円の場合に対応する結果となります。
ところで、
，
，つまり、直線が漸近線に平行になるときには、直線は、双曲線と1交点をもつか、交点をもたないかのいずれかで、接することはありません。
⑦をmの2次方程式と見るとき、
を解にもてないので、 
かつ 
......[答]
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2024(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
(以下、
をひとくくりにして計算するのがコツです)
･･･⑦
･･･⑨
，
として、
･･･①