北大理系数学'09年前期[5]
自然数nに対して
とおく。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 
を求めよ。 (2) 
を
で表せ。 (3) 
を求めよ。 (4) 
を求めよ。
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解答 定積分の漸化式は、部分積分に持ち込むのが定石ですが、
だけは、
を利用するので注意してください。
(2)で得られる漸化式で、
としてみれば、(4)の形が見えてきて、全体のストーリーが見渡せます。
(2) 
∴ 
......[答]
(3) (2)で得られた漸化式で、
として行くと、 となり、(4)の形が見えてくるので、(3)で
とやって、最後は、
とするのだろう、という、この問題のストーリーが見渡せます。
①の形では、
のとき
を示すのは大変です。
そこで、元の定積分の形を見ることになりますが、被積分関数の
を何らかの不等式ではさむのだろう、というアイデアが湧きます。
において
なので、
です。
各辺に積分記号をつけると、すべての自然数nについて、 
･･･②(2)の不等式を利用すると、
より、 ∴ 
ここで
とすると、
なので、はさみうちの原理より、
∴ 
......[答]注．②の
だけでは、
が収束することはわかりますが、極限値がわかりません。
のときに0に収束するものをもってきて上から抑えてやる必要があります。
のグラフが
を通り、
において下に凸であることを利用すると、
において
という不等式が得られます。これより、 ここからも、
が言えます。
(Ⅰ) 
のとき、③において、
となりますが、(1)の結果より成り立ちます。 (Ⅱ) 
のとき、③が成り立つと仮定すると、 (2)の漸化式を用いて、
よって、
のときにも、③が成立します。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、すべての自然数nについて、③が成り立ちます。(3)より、
のとき、
∴ 
......[答]
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(kの上端の値に注意)
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