広島大理系数学'09年[3]
曲線
上の点A
における接線を
とし、点B
を通り直線
に平行な直線をmとする。直線mと曲線
の2つの交点P，Qのx座標をそれぞれα，β (ただし
)とする。直線
と直線
の交点を
，直線
と直線
の交点を
とする。次の問いに答えよ。
(1) 平行四辺形
の面積Sをα，β で表せ。 (2) 直線mと曲線
によって囲まれる図形の面積Tをα，βの多項式で表せ。 (3) 線分PQの中点Rは第2象限にあることを示せ。
(4) 
であることを示せ。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 不等式の証明に曲線の凹凸を利用する、という技巧が知られていますが、少々アレンジして凹凸を考えてみよう、という問題です。
(1) 
とします。
：
ここで、
とします。同様に、B
を通り
に平行な直線は、 m：
･･･①
で
のグラフは下に凸なので、右図より、方程式①は相異なる2実数解をもちます。題意より、小さい方の解がαで大きい方の解がβ です。従って、
，
･･･②が成り立ちます。
直線mは直線
をy軸正方向に1平行移動させた直線なので、平行四辺形
は、底辺の長さ1，高さ
の平行四辺形で、その面積Sは、 
......[答]
②を用いて、
......[答]
(3)(4) 点P，点Qのy座標
，
より、線分PQの中点Rが第2象限にある、ということは、Rのx座標
ということです。(4)の
と合わせて、 
･･･③を示せばよいわけです。
こうした問題で不等式の証明をする場合に、曲線の凹凸に着目するとうまく行く場合があります。
下に凸な曲線
上の点はその接線
から上に来るので、点P，点Qに着目すると、 
，
より、
，
･･･④という不等式ができます。
また、下に凸な曲線
上の2点PQを結ぶ線分
(
)上の点は、曲線
から上に来るので、PQの中点
について、 と②より、
･･･⑤ (
，
とおけば、相加平均・相乗平均の関係：
が導けます)という不等式ができます。ですが、④，⑤から③を導き出すことができません。本問では、凹凸に着目するだけでは、③よりも甘い不等式しか導けないのです。そこで、(1)，(2)で考えた面積を利用して、曲線の凹凸の具合をもっと厳しく評価せよ、というのが題意です。(1)，(2)を使うと、曲線
の曲がり具合について、直線m：
と曲線
とで囲まれる部分の面積Tが平行四辺形
の面積Sよりも小さいという不等式を作ることができます。
また、曲線
が下に凸であることから、線分PA上の点は曲線
から上にあり、線分AQ上の点は曲線
から上にあり、面積Tは、三角形PABの面積と三角形QABの面積の和、つまり、平行四辺形
の面積Sの
よりも大きいという不等式を作ることができます。従って、 ∴ 
これで③が導けました。線分PQの中点Rは第2象限にあり、
です。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2024(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
として、
と
と連立すると、
(
)で割ると、
より、