上智大理工数学'09年[1]
極限値
は自然対数の底eであり、その近似値は
であることが知られている。ここでは、
であることを次の手順で示そう。
(1) 自然数kに対して、
であることを示せ。 (2) 
を二項定理を用いて展開することにより、 であることを示せ。
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解答 参考書などによく出ている証明をすればよい問題なのですが、いざ、試験場で自分でやってみなさい、と言われると、難航するかも知れません。
(Ⅰ) 
のとき、 
，
よって、
は成立します。 (Ⅱ) 
のとき、 
･･･①が成立すると仮定します。
①の両辺に2をかけて、
のとき、
より、よって、
のときにも、
が成立します。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、自然数kに対して、
が成り立ちます。
･･･②さて、ここで目標とすることは、これが、3以下、つまり、先頭の1を除いた第2項以降の和が2以下であることを示すことです。
このために、②の第2項以降の各項が、初項1で和が2となるような等比数列の各項と比較できないか、考えてみます。
初項1，和が2となるような無限等比級数の公比をrとすると、 ∴ 
となるので、②の第
項、つまり
を
と比較します。(1)を用いて、
より、 ･･････
となるので、②の第2項以降について、
これより②は3よりも小さくなり、
･･･③数列
の各項について③が成り立つので、
の極限について、 が成り立ちます。
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