阪大文系数学'09年[3]
次のような、いびつなさいころを考える。1，2，3の目が出る確率はそれぞれ
，4の目が出る確率はa，5，6の目が出る確率はそれぞれ
である。ただし、
とする。
このさいころを振ったとき、平面上の
にある点Pは、1，2，3のいずれかの目が出ると
に、4の目が出ると
に、5，6のいずれかの目が出ると
に移動する。
原点
にあった点Pが、k回さいころを振ったときに
にある確率を
とする。
(2) 
を求めよ。 (3) 
が最大になるときのaの値を求めよ。
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解答 確率と3次関数の融合問題です。(2)の考え方は定型的なものなので、記憶するようにしてください。
(1) 原点
にあった点Pが1回さいころを振って行ける可能性のある点は、
，
，
で
に行ける可能性はありません。よって、 
......[答]同様に考えて、原点
にあった点Pが2回さいころを振って行ける可能性のある第1象限の点は
のみで、
に到達できる可能性はありません。よって、 
......[答]原点
にあった点Pが3回さいころを振って
に到達するのは、1，2，3のいずれかの目が2回、4の目が1回出たときで、3回の目の出方が
通りあります。よって、 
......[答]
(2) 樹形図を書いて場合の数を数えようとすると大変なことになります。
こうした問題では、それぞれの事象の起こる回数に関する等式(不等式ということもあります)を立てます。
6回さいころを振るとき、1，2，3の目が出る(x座標が1増える)回数をiとし、4の目が出る(y座標が1増える)回数をjとし、5，6の目が出る(x座標とy座標が)回数をkとして、
x座標について、
y座標について、
これらを満たすi，j，kは、
，
，
6回さいころを振るとき、1，2，3の目が3回出て、4の目が2回出て、5，6の目が1回出る目の出方のパターンは、
通り(同じものを含む順列を参照)あり、その確率
は、 
......[答]
(3) 
とすると、
a,0,,
,,
,0,＋,0,−,
,,
,,
,増減表より(3次関数の増減を参照)、
が最大になるときのaの値は、
......[答]
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