九大理系数学'09年後期[3]
Oを原点とするxyz空間内の点A，B，CをそれぞれA
，B
，C
とし、2点A，Bを通る直線を
とする。以下の問いに答えよ。
(1) 点Pは直線
上を動き、点Qはy軸上を動くものとする。このとき、2点PとQとの距離の最小値を求めよ。また、PとQとの距離が最小となるときのPとQをそれぞれ
，
とする。
と
の座標を求めよ。 (2) 
との距離がsであるような直線
上の点の一つをSとする。点Sから三角形
を含む平面に下ろした垂線とその平面との交点をRとするとき、線分SRの長さを求めよ。 (3) y軸上に長さkの線分DEがあり、直線
上に長さmの線分FGがある。四面体DEFGの体積を求めよ。
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解答 ねじれの位置にある2直線上を一定の長さの2つの線分が動くとき、2線分の端点を4頂点とする四面体の体積が一定になることを示す、という難問です。なお、空間ベクトルを参照してください。
(1) 
･･･①y軸上の点Qの座標はqを実数として
･･･② これは、
かつ 
のときに最小値2となります。
よって、2点P，Qの距離の最小値は、
......[答]また、P，Qの距離の最小を与える
，
の座標は、
，
を①，②に代入して、 別解．本問ではQがy軸上の点で座標が簡単なので、
を2文字t，qで表しても大した計算にはなりませんが、
の各成分に2文字が混じるようなときには計算が非常に面倒になります。ねじれの位置にある2直線上を動く動点間の距離の最小値を求める場合には、平面の方程式を利用して以下のように解答することができます。
y軸に平行で直線
を含む平面πの法線ベクトルは、y軸にも直線
にも垂直、つまり、ベクトル
にも
にも垂直です。両者の外積は、 となるので、平面πの法線ベクトル
を
として、平面πの方程式は、 
(cは定数)となります。平面πは、点A
を通るので、 
∴ 
これより、平面πの方程式は、
2点P，Qの最小値は、y軸上の任意の点(どの点でも平面πとの距離は同じです)、例えば原点と平面πとの距離となり、点と平面の距離の公式を用いて、
これで、簡単に最小値が求められますが、この解法では、最小値を与える
，
の座標が求められません。
そこで、P，Qの距離が最小になるときに、
がy軸にも直線
にも垂直になるという事実を利用します。
は、上記のようにして得られた
に平行になるので、実数kを用いて、
とおけます。①，②を用いて、 これより、
，
∴ 
，
これで、
，
の座標が求められます。
(2) 点Sから三角形
を含む平面に下ろした垂線とその平面との交点をRとする、ということは、
は、
にも
にも垂直だということです。 とおくと、
よって、
......[答]
(3) Fよりy軸に垂線FHを下ろし、Hのy座標をuとすると、Fのy座標もuです。①より、
とおくと、
Fのx座標、z座標は、
，
より、Fの座標は
Dのy座標をwとするとDの座標は
Gから三角形DEFを含む平面に垂線GTを下ろすと、
はy軸にも
にも垂直で、
とおくと、 より、三角形DEFの面積は、
四面体DEFGの体積は、高さは
で、 
......[答]
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，
......[答] (つまり
は原点Oです)
とおけます。
，
として、
，
，
より、
とおけます。
，
として、
，
，
より、
上の点
の