九大理系数学'09年後期[3]
Oを原点とするxyz空間内の点A,B,CをそれぞれA,B,Cとし、2点A,Bを通る直線をとする。以下の問いに答えよ。
(1) 点Pは直線上を動き、点Qはy軸上を動くものとする。このとき、2点PとQとの距離の最小値を求めよ。また、PとQとの距離が最小となるときのPとQをそれぞれ,とする。との座標を求めよ。 (2) との距離がsであるような直線上の点の一つをSとする。点Sから三角形を含む平面に下ろした垂線とその平面との交点をRとするとき、線分SRの長さを求めよ。 (3) y軸上に長さkの線分DEがあり、直線上に長さmの線分FGがある。四面体DEFGの体積を求めよ。
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解答 ねじれの位置にある2直線上を一定の長さの2つの線分が動くとき、2線分の端点を4頂点とする四面体の体積が一定になることを示す、という難問です。なお、空間ベクトルを参照してください。
(1) ・・・@ y軸上の点Qの座標はqを実数として ・・・A これは、 かつ のときに最小値2となります。
よって、2点P,Qの距離の最小値は、 ......[答]また、P,Qの距離の最小を与える,の座標は、,を@,Aに代入して、 別解.本問ではQがy軸上の点で座標が簡単なので、を2文字t,qで表しても大した計算にはなりませんが、の各成分に2文字が混じるようなときには計算が非常に面倒になります。ねじれの位置にある2直線上を動く動点間の距離の最小値を求める場合には、平面の方程式を利用して以下のように解答することができます。y軸に平行で直線を含む平面πの法線ベクトルは、y軸にも直線にも垂直、つまり、ベクトルにもにも垂直です。両者の外積は、 となるので、平面πの法線ベクトルをとして、平面πの方程式は、 (cは定数) となります。平面πは、点Aを通るので、 ∴ これより、平面πの方程式は、
2点P,Qの最小値は、y軸上の任意の点(どの点でも平面πとの距離は同じです)、例えば原点と平面πとの距離となり、点と平面の距離の公式を用いて、
これで、簡単に最小値が求められますが、この解法では、最小値を与える,の座標が求められません。
そこで、P,Qの距離が最小になるときに、がy軸にも直線にも垂直になるという事実を利用します。は、上記のようにして得られたに平行になるので、実数kを用いて、とおけます。@,Aを用いて、 これより、,
∴ ,
これで、,の座標が求められます。
(2) 点Sから三角形を含む平面に下ろした垂線とその平面との交点をRとする、ということは、は、にもにも垂直だということです。 とおくと、
よって、
......[答]
(3) Fよりy軸に垂線FHを下ろし、Hのy座標をuとすると、Fのy座標もuです。@より、とおくと、 Fのx座標、z座標は、,より、Fの座標はDのy座標をwとするとDの座標は Gから三角形DEFを含む平面に垂線GTを下ろすと、はy軸にもにも垂直で、
とおくと、 より、三角形DEFの面積は、
四面体DEFGの体積は、高さはで、 ......[答]
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