九大理系数学'09年後期[3]

Oを原点とするxyz空間内の点ABCをそれぞれABCとし、2ABを通る直線をとする。以下の問いに答えよ。
(1) Pは直線上を動き、点Qy軸上を動くものとする。このとき、2PQとの距離の最小値を求めよ。また、PQとの距離が最小となるときのPQをそれぞれとする。の座標を求めよ。
(2) との距離がsであるような直線上の点の一つをSとする。点Sから三角形を含む平面に下ろした垂線とその平面との交点をRとするとき、線分SRの長さを求めよ。
(3) y軸上に長さkの線分DEがあり、直線上に長さmの線分FGがある。四面体DEFGの体積を求めよ。


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解答 ねじれの位置にある2直線上を一定の長さの2つの線分が動くとき、2線分の端点を4頂点とする四面体の体積が一定になることを示す、という難問です。なお、空間ベクトルを参照してください。

(1)
直線上の点Ptを実数として、直線ベクトル方程式
 ・・・@
y軸上の点Qの座標はqを実数として ・・・A


これは、 かつ のときに最小値2となります。
よって、
2PQの距離の最小値は、 ......[]
また、PQの距離の最小を与えるの座標は、を@,Aに代入して、
......[] (つまりは原点Oです)
別解.本問ではQy軸上の点で座標が簡単なので、2文字tqで表しても大した計算にはなりませんが、の各成分に2文字が混じるようなときには計算が非常に面倒になります。ねじれの位置にある2直線上を動く動点間の距離の最小値を求める場合には、平面の方程式を利用して以下のように解答することができます。
y軸に平行で直線を含む平面πの法線ベクトルは、y軸にも直線にも垂直、つまり、ベクトルにもにも垂直です。両者の外積は、
となるので、平面πの法線ベクトルとして、平面πの方程式は、
 (cは定数)
となります。平面πは、点Aを通るので、
 ∴
これより、平面πの方程式は、
2PQの最小値は、y軸上の任意の点(どの点でも平面πとの距離は同じです)、例えば原点と平面πとの距離となり、点と平面の距離の公式を用いて、
これで、簡単に最小値が求められますが、この解法では、最小値を与えるの座標が求められません。
そこで、
PQの距離が最小になるときに、y軸にも直線にも垂直になるという事実を利用します。は、上記のようにして得られたに平行になるので、実数kを用いて、とおけます。@,Aを用いて、
これより、

これで、の座標が求められます。

(2) Sから三角形を含む平面に下ろした垂線とその平面との交点をRとする、ということは、は、にもにも垂直だということです。
とおくと、


これより、とおけます。として、
より、
よって、
......[]

(3) Fよりy軸に垂線FHを下ろし、Hy座標をuとすると、Fy座標もuです。@より、とおくと、
Fx座標、z座標は、より、Fの座標は
Dy座標をwとするとDの座標は
Gから三角形DEFを含む平面に垂線GTを下ろすと、y軸にもにも垂直で、

とおくと、

これより、とおけます。として、
より、

より、三角形DEFの面積は、
四面体
DEFGの体積は、高さはで、
......[]


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