空間における2直線の位置関係 関連問題
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この項目については、空間ベクトルを参照してください。
空間における2直線の位置関係は、右図のような
(i) 交わる (ii) 平行 (iii) ねじれの位置
の3通り。
(i) 空間における2直線
l：
･･･①m：
･･･② は、①式、②式のx，y，zを等しいとおくと、
③と④から、
∴ 
③より、
となるのですが、
，
は、⑤を満たします。
のとき、①では、
，
，
のとき、②でも、
，
，
となります。
ということは、直線l，mともに、点
を通るということであって、2直線l，mは、点
において交わるということを意味します。
空間における平行でない2直線は、必ずしも交点を持ちません。
，
を直線l，m上を動く点の位置ベクトル、
，
を直線l，m上の1定点の位置ベクトル、
，
を直線l，mの方向ベクトル(
，
は1次独立)、t，sを実数だとして、2直線l，mのベクトル方程式が、
l：
m：
と表せたとします。
，
になったときに
となり、2直線l，mが
を位置ベクトルとする点で交わる、とします。このとき、
･･･⑥
･･･⑦
を位置ベクトルとする点が、ベクトル方程式(平面のベクトル方程式を参照)
･･･⑧
，
としたときの
を位置ベクトルする点が2直線l，mの交点です。また、⑧で
，
とすると直線lとなり、⑧で
，
とすると、⑦を用いて、
は、直線mです。つまり、平面αは、交わる2直線l，mを含む平面です。
ここで、
，
として、
とすると、
，
を位置ベクトルとする点は平面α上の点ではなく、
：
はlと交点を持ちません(後述)。
l，mが①，②の場合、⑧は、
･･･⑨
となるので、⑨の両辺と
との内積をとることにより平面αの方程式は、
，つまり、
･･･⑩
は、⑩を満たすので平面α上の点であり、l，mはともに平面α上の直線です。
(ii) 空間における2直線が平行であってかつ、同一の直線でない場合、この2直線は交点を持ちません。
(iii) 空間における2直線
l：
･･･⑪
m：
･･･⑫
は、⑪式、⑫式のx，y，zを等しいとおくと、
･･･⑬
･･･⑭
･･･⑮
⑬と⑭から、
∴ 
⑬より、
ですが、
，
は⑮式を満たしません。
つまり、直線l上の点と直線m上の点が同一の点になることはあり得ないのです。これは、この2直線が交点を持たないことを意味します。このような2直線の位置関係を「ねじれの位置」と言います。
l上の点
とm上の点
との距離dを考えてみます。
･･･⑯
右辺を展開して整理すると、
これをtに関する2次式と見て平方完成すると、
さらに、残りの部分をsについても平方完成すると、
，
ですから、
となります。ですから、2直線l，m上の点はもっとも近い点同志の距離が
であって、ここからも2直線が交わらないことがわかります。
となるのは、
，つまり、
，
のときです。
このとき、⑪より、
，
，
⑫より、
，
，
l上の点とm上の点との距離の最小値を与える2点は、l上のP
とm上のQ
です。
ここで、この2点を結ぶベクトル
は、l，mの方向ベクトル
，
に対して、
つまり、
は、直線l，直線mの双方と垂直です。
を2直線l，mの距離と言うことがあります。
また、2直線l，mの方向ベクトル
，
のなす角を、2直線l，mのなす角と言うことがあります。
ところで、①，②で表される直線l，mは交点を持っていました。①と⑪は同一の直線ですが、②と⑫は
と
のところが違っていて、⑪と⑫は交点を持ちません。
は⑩を満たすので平面α上の点ですが、
は⑩を満たさないので平面α上の点ではなく、このために平面α上の直線でない⑫(ですが、⑫と平面αは平行です)と⑪は交点を持ちません。
注．
は、
，
として、⑦で
としたもの、
になっています。
でないので、
は平面α上の点にはなりません。 2直線l，mの距離を求めるのに、l，m上の点をt，sで表して、l，m上の点の距離の2乗
を⑯のように表し、平方完成を2回行って
の最小値として求めるのでは大変です。上記に書いたように、⑫ // αなので、⑫上の点、例えば、⑫で
とした点
と平面α：
(⑩)との距離として、
を、容易に求めることができます。
つまり、ねじれの位置にある2直線の距離を求めるには、2直線の方向ベクトルの外積
を法線ベクトルとする平面αを、直線⑪を含み直線⑫と平行な平面として、平面αの方程式を、
とおいて、⑪上の点
を代入して、
を求め、⑫上の点
と平面αとの距離として求めればよい、ということになります。
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