横浜国大工数学'09年後期[3]
xy平面上の領域
，
で、方程式
が表す曲線をCとする。正の数tに対して、直線
がCと異なる2点Q，Rで交わるとき、次の問いに答えよ。
(1) Cを極座標
に関する方程式で表し、rのとり得る値の最大値を求めよ。 (2) Q，Rの座標をtを用いて表せ。
(3) 線分QRの長さが最大となるtの値を求めよ。
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解答 なかなか素直に行かない微分の計算問題です。
(1) C：
･･･① に、
，
(
，
より、
)を代入する(極座標を参照)と、 ∴ 
･･･②
ここで、
とすれば
(極)となるので、②で
の場合を含んでいます。
注．現行の高校の教科書では
であることが想定されていて、
の範囲においては、②で
となります。ですが、
も許すことにする(第2象限、第3象限の部分にもグラフができます)と、極方程式②の表す曲線は右図のようになります。曲線Cに当たる部分を黒線、それ以外の部分を灰色の線で描きました。
②の右辺を
とおくと、 この分子は、
∴ 
より、
において
で
は増加、
において
で
は減少(関数の増減を参照)。よって、
(
)の最大値は、 
......[答]
(2) ①を変形して、
･･･③を代入して、
③より、
整理して、
∴ 
相異なる2実数解をもつのは、根号内(判別式)が正のとき(2次方程式を参照)、つまり、
のときで、問題文の
という指定により、
このとき、
，
(複号同順)よって、交点Q，Rの座標は、
(複号同順) ......[答]
(3) 直線③の傾きは
なので、線分QRの長さは、Q，Rのx座標の差の絶対値の
倍(直線の方程式を参照)で、 とおくと、
とすると、
においては、
において
で
は増加、
において
で
は減少。よって、線分QRの長さ、即ち、
を最大とするtの値は、
......[答]
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