横浜国大経済数学'09年[2]
数列
，
，
を
，
，
と関係式
で定める。次の問いに答えよ。
(1) 
をnの式で表せ。 (2) 
は7で割り切れることを示し、
が7で割り切れるためのnの条件を求めよ。
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解答 (1)があるので、(2)でも
の一般項を求めたくなりますが、(1)を解答せずとも(2)だけで単独で解答することも可能です。
なお、(1)については、漸化式の技巧を参照してください。
(1) 
は、初項：24，公比：8の等比数列なので、 両辺を
で割り、 
･･･① とおくと、
･･･②
･･･③③を解いて、
②－③より、 ①より、
∴
......[答]
(2) 与えられた漸化式の第1式で項番号を1ずらすことにより、
･･･④さらに項番号を1ずらせて、
∴ 
･･･⑤
のとき、
，
，
は整数であって、
のとき、
，
，
が整数であれば、与えられた漸化式より、
，
，
も整数で、数学的帰納法により、すべての自然数nについて、
，
，
は整数です。
よって、⑤式の
も整数であり、
は7の倍数です。 ･･･(＊)与えられた漸化式の第1式で
として、
④で
として、
これらのことから、mを1以上の整数として、
のときには
は7で割り切れず、
のときに7で割り切れると予測できます。以下、この予測をmに関する数学的帰納法で示します。
のとき、
のときには
(
)は7で割り切れず、
，
のときには
は(
，
)7で割り切れるので、予測は成立します。
のとき、予測が成立すると仮定すると、
は7で割り切れず、
，
は7で割り切れます。このとき、(＊)より、
は7で割り切れず、
，
は7で割り切れるので、予測は
のときにも成立します。
以上より、
が7で割り切れるためのnの条件は、
“nが3で割ったときの余りが1でない自然数であること” ......[答]別解．上記の(2)では、(1)も使わず、与えられた漸化式だけを用いて解答しましたが、もちろん、(1)の結果を利用しても、また、
の一般項を求めても、解答できます。(1)の結果を利用するのであれば、
を与えられた漸化式の第1式に代入して、 
･･･⑥
これで、
が7で割り切れることが言えます。
の一般項を求めるのであれば、⑥を
で割り、 これは、数列
の階差数列が
であることを意味します。よって、 
(
)∴ 
(
のときも成り立ちます) これで、
が7で割り切れることが言えます。
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は、初項：
，公比：
の等比数列なので、
