漸化式の技巧 関連問題
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この項目は、2項間漸化式、3項間漸化式を参照してください。
(1) 
タイプ：両辺の逆数を考え、
とおく。 (3) 
(
，
)：
と
をxで置き換えた2次方程式の解をα，β として、
とおく。
の場合は
とおく。
例1 
，
解答 (1) のタイプです。漸化式両辺の逆数を考えると、
とおくと、
･･･①
と
をαとおくと、
･･･②
①－②より、
は、初項
，公比
の等比数列。
∴ 
∴ 
∴ 
......[答]
例2 
，
解答 (2) のタイプです。漸化式両辺の対数を考えると、底を3として、
とおくと、
･･･①
と
をαとおくと、
･･･②
①－②より、
は、初項
，公比2の等比数列。
∴ 
∴ 
∴ 
......[答]
例3 
，
解答 (3)で
となるタイプです。
と
をxで置き換えると、
分母を払って整理すると、
∴ 
この解を用いて、
(分母、分子は入れ替わってもOKです)とおくと、
は、初項
，公比
の等比数列(必ず、等比数列になります)。
∴ 
分母を払って、
∴ 
......[答]
例4 
，
解答 (3)で
となるタイプです。
と
をxで置き換えると、
分母を払って整理すると、
∴ 
重解になってしまうときには、例3のようにはできません。出てきた重解を用いて、代わりに、
とおきます。
は、初項
，公差
の等差数列(必ず、等差数列になります)。
∴ 
分母を払って、
∴ 
......[答] (例6も参照してください)
例5 
，
解答 (4)のタイプです。
の分母、分子に、
をかけます(何をかけるのか、何を割るのかは、式の形でいろいろです)。
∴ 
これは、
が定数値をとる数列であることを意味しています。初項
より、
∴ 
......[答]
例6 
，
解答 例4については、こぜわしい技巧を使うよりも、予測して数学的帰納法で証明してしまう方が簡単です。
，
，
，･･･ より、
と予測できます。
(Ⅰ) 
のとき、
より予測は成り立ちます。
(Ⅱ) 
のとき、予測が成り立つとすると、
与漸化式より、
よって、
のときも予測は成立します。
(Ⅰ)，(Ⅱ)より、予測は、すべての自然数nについて成り立ち、
......[答]
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(
，
)タイプ：両辺の対数を考え、
とおく。
タイプ：
より、
