漸化式の技巧 関連問題
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この項目は、2項間漸化式、3項間漸化式を参照してください。
(1)
タイプ:両辺の逆数を考え、
とおく。 (3)
(
,
):
と
をxで置き換えた2次方程式の解をα,β として、
とおく。
の場合は
とおく。
例1
,
解答 (1) のタイプです。漸化式両辺の逆数を考えると、
とおくと、
・・・@ これは2項間漸化式の基本形です。
と
をαとおくと、
・・・A ∴ 
@−Aより、
は、初項
,公比
の等比数列。
∴ 
∴ 
∴
......[答]
例2
,
解答 (2) のタイプです。漸化式両辺の対数を考えると、底を3として、
とおくと、
・・・@ これは2項間漸化式の基本形です。
と
をαとおくと、
・・・A ∴ 
@−Aより、
は、初項
,公比2の等比数列。
∴ 
∴ 
∴
......[答]
例3
,
解答 (3)で
となるタイプです。
と
をxで置き換えると、
分母を払って整理すると、
∴ 
この解を用いて、
(分母、分子は入れ替わってもOKです)とおくと、
は、初項
,公比
の等比数列(必ず、等比数列になります)。
∴ 
分母を払って、
∴
......[答]
例4
,
解答 (3)で
となるタイプです。
と
をxで置き換えると、
分母を払って整理すると、
∴ 
重解になってしまうときには、例3のようにはできません。出てきた重解を用いて、代わりに、
とおきます。
は、初項
,公差
の等差数列(必ず、等差数列になります)。
∴ 
分母を払って、
∴
......[答] (例6も参照してください)
例5
,
解答 (4)のタイプです。
の分母、分子に、
をかけます(何をかけるのか、何を割るのかは、式の形でいろいろです)。
∴ 
これは、
が定数値をとる数列であることを意味しています。初項
より、
∴
......[答]
例6
,
解答 例4については、こぜわしい技巧を使うよりも、予測して数学的帰納法で証明してしまう方が簡単です。
,
,
,・・・ より、
と予測できます。
(T)
のとき、
より予測は成り立ちます。
(U)
のとき、予測が成り立つとすると、
与漸化式より、
よって、
のときも予測は成立します。
(T),(U)より、予測は、すべての自然数nについて成り立ち、
......[答]
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