横国大工数学'09年後期[5]
で定義された関数
を考える。ただし、aは定数である。次の問いに答えよ。
(1) 
のとき、
は増加関数であることを示せ。 (2) 
のとき、
は減少関数であることを示せ。
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解答 何の変哲もない微積の計算問題に見えるのですが、(2)が意外に厄介です。
(
)
･･･①どうでもいいように見えますが、(2)をにらんで、微分しやすいように、分子をできるだけ簡単な形にしておくのが、この問題のポイントです。
(1) 
のとき、 
(
とおきます)
･･･②
において、
なので
は単調減少です。また、
は連続な関数です。
のとき、
(関数の極限を参照)よって、
において
です。
，
のとき、
･･･③
よって、
，従って、
は増加関数です。
(2) ①より、
(
とおきます) ②を用いて、
より、分子各項の係数は正または0なので、
において分子は正です。よって、
なので、
において、
は単調増加です。また、
は連続な関数です。
のとき、
より
よって、
のとき、
です。
③より、
，従って、
は減少関数です。
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