横国大工数学'09年[4]
放物線
上に2点P
，Q
をとる。次の問いに答えよ。
(1) tがすべての実数を動くとき、直線PQが通過する領域を求めよ。
(2) tが
の範囲を動くとき、線分PQが通過する領域を求め、図示せよ。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 xy平面上における直線の方程式、あるいは、曲線の方程式がx，y以外の助変数を含んでいて、この助変数がいろいろな値をとる、という設定の問題があります。このとき、助変数の値が変化すると、直線や曲線がxy平面上を動き回るのですが、動き回る範囲を求めたい、という場合の対処法を、この問題で考えてみます。
(2)は、「直線PQ」の通過範囲ではなく、「線分PQ」の通過範囲なので、xの範囲、tの範囲が複雑にからんで、いろいろと検討することがあり、きちんとやろうとすると難問です。
直線PQの傾きは、
直線PQの方程式：
(直線の方程式を参照) 整理して、
･･･①
の各値に対する直線PQを右図に示します。これで問題の概略はつかめます。
(1) tがすべての実数をとって変化するときに直線①が通過する領域を求める、という問題なのですが、各tの値に対して直線がどう動くかを見ようとすると、概略はつかめますが、正確な議論はできません。
①をxの関数と見るのではなく、x座標を固定してtの2次関数と見ることにより、そのx座標のところでy座標がどういう範囲の値をとるのか、という見方をするようにします。
①の右辺を
とおくと、 
･･･②tがすべての実数を動くとき、
は
において最大値
をとり、最大値以下のすべての値をとります。
∴ 
各x座標においてy座標が
という範囲の値をとりうる、ということは、x座標を動かすと、直線①は領域：
を動くということです。直線PQが通過する領域は、 
......[答] (図示すると右図黄緑色着色部(境界線を含む))
･･･③と見て、tが実数であることから、これが、実数解をもつ条件、
判別式：
∴ 
として領域を求めることもできます。
(2) tが
の範囲を動くときには、直線PQの通過範囲を考えるためには、②で与えられる関数
が
の範囲においてとりうる値を考えることになります。 
のグラフは
に関して対称なので、
の範囲に対して軸位置
がどういう位置関係にあるか、ということで以下の4通りに場合分けします(右図参照)。(ii) 
が範囲
内の中間よりも左側にあるとき、
，つまり、
(iii) 
が範囲
内の中間よりも右側にあるとき、
，つまり、
また、ここでは、「直線PQ」の通過範囲ではなく、「線分PQ」の通過範囲なので、線分PQ上の点のx座標の範囲
を考える必要が出てきます。
より、tに関して、
のほかに
という条件がつくので、
という範囲(範囲Aとします)と
という範囲(範囲Bとします)の共通部分を考えなければいけません。 (a) 
のとき、
となるので、範囲Aと範囲Bには共通部分はありません。 (b) 
のとき、
となるので、範囲Aと範囲Bの共通部分は、
(c) 
のとき、
となるので、範囲Aと範囲Bの共通部分は、
(d) 
のとき、
となるので、範囲Aと範囲Bには共通部分はありません。 従って、(i)～(iv)と(a)～(d)とから、xの範囲を、
(ア) 
((i)かつ(b)) (イ) 
((ii)かつ(b)) (ウ) 
((iii)かつ(c)) (エ) 
((iv)かつ(c)) の4つの範囲に分けて考えることになります。
より、各場合について、
のとり得る値の範囲は以下のようになります(2次関数の最大最小を参照)。 という範囲の値をとります。
という範囲の値をとります。
という範囲の値をとります。
以上まとめて、線分PQが通過する領域は、図示すると、右図黄緑色着色部(境界線を含む) ......[答]
注．点P，Qは放物線
上を動く点なので、領域の境界線として
が出てきます。また、きちんとやれば、上記のようになるのですが、もう少し、簡単に済ませたければ、線分PQは、直線PQを放物線
で切り取ったときの弦で、直線PQのうち
を満たす部分だから、として、(i)～(iv)の場合わけのみで、
の範囲で
のとり得る値を、 (i) 
のとき、
(ii) 
のとき、
(iii) 
のとき、
(iv) 
のとき、
として求め、
との共通部分、とすることになります。 別解．2次方程式③：
を考えるのであれば、③が
の範囲に解をもつ条件を考えます(2次方程式の一般論を参照)。 まず、重解を含めて2解を有するとき、
(い) 判別式：
(ろ) 軸：
(は) 端：
，
(い)かつ(ろ)かつ(は)より、
の範囲に1実数解を有するとき、∴ 
または
･･･⑤ ④または⑤では「直線PQ」の通過範囲になってしまうため、上記の注．のようにして、「線分PQ」の通過範囲は、“④または⑤”かつ
である、とすることになります。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2024(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
が範囲
の左側にあるとき、
，つまり、
が範囲
の右側にあるとき、
，つまり、
，
，
，
，
のとき、
より、
は、
，つまり、
のとき、
，
より、
は、
，つまり、
のとき、
，
より、
は、
，つまり、
のとき、
より、
は、
，つまり、
(
)
(
)
(
)
かつ
かつ
かつ
･･･④