山梨大医数学'09年[3]
α，β，t (
)を実数とする。2次正方行列Aを
とし、
とする。自然数nに対して、
とおく。
(1) 
を満たす
を求めよ。 (2) 
をn，α，βを用いて
(p，qは実数)の形に表せ。 (3) 
，
が成り立ち、
，
，
，
が存在すると仮定する。このとき、
を満たす
がただ1つ存在することを示せ。さらに、この
，
に対して
，
を求めよ。
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解答 行列式の計算が面倒な問題です。(2)では、ハミルトン・ケーリーの定理による次数下げを利用します。
(1) 
より、
①より、
......[答]①より、
かつ 
のときには題意をみたすu，vは存在しません。
のとき、
よって、wを任意の実数として、
......[答]
(2) 
両辺に
をかけて、 
･･･②と変形するのと同様の式変形を行います。
② ⇔ 
これより、
･･･③同様に、
･･･④③－④より、
∴ 
......[答] ･･･⑤
つまり、
とするとき、 
，
･･･⑥
(3) 
のとき、
より、
･･･⑦これより、
のとき
(等比数列の極限を参照)
が存在するので、
，
(
に注意)
の形を見ると、αについても
で
・
のとき、 より、
･･･⑨⑦より、
⑥を用いて、
･･･⑩⑧より
，よって、
が存在します。
⑨より、 
･･･⑪これより、
を満たす
がただ1つ存在します。
のとき、⑥，⑧より、
，
⑧，⑩より、
よって、
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･･･①
のときには、
より
は存在しません。
のとき、
の
成分
について、
のとき
が存在するので、
，
，
いずれにしても、
のとき
，
で
，
･･･⑧
，
......[答]
のときには、
より
が存在します
があるときに、