旭川医大数学'10年[3]
関数
(
)の逆関数を
(
)とおくとき、次の問いに答えよ。
問1 
のとき、
をxを用いて表せ。 問2 曲線
(
)と直線
(
)の2つの交点のx座標を、それぞれα，β (
)とおくとき、
をt と関数gを用いて表せ。 問3 
(
)とおくとき、
(
)を示し、
を最小にするt の値を求めよ。
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解答 面倒な微積の計算問題です。符号もややこしいので注意してください。
･･･①ここで、
です。また、
のときには、
となります。
両辺をxで微分して、 
と①より、
，よって、
......[答]
問2 
(半角の公式を参照)は、
のとき
，
のとき
，
のとき
， 
では増加関数、
では減少関数です。
曲線
と直線
の2つの交点のx座標α，β について、
となっています。
従って、
，
，
，
，
，
です。これらを用いて、
問3 問2の結果を用いて、
･･･②
とすると、
においては、∴ 
(
)①において、
とすると
，
とすると
を考慮すると、
，
よって、②より、
増減表は以下のようになります(関数の増減を参照)。増減表より、
において
また、
を最小にするtは、
......[答]
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(
)の逆関数が
(
)であるとき、
の逆関数を
と書けば、
......[