電通大数学'10年後期[4]
△PCDの辺PCの中点をA，辺PDの中点をB，
とする。
，
，
，
として、線分ABをα：β に内分する点をQ，線分CBをα：1に内分する点をR，直線PQと直線ARの交点をEとする。以下の問いに答えよ。
(4) 点Eが直線CD上にあるとき、α，β の満たす関係式を求めよ。
(5) 辺ABを固定して、点Pが(4)で求めた関係式を満たしながら動くとき、△PABの面積の最大値Sを求めよ。
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解答 平面ベクトルの基本問題ですが、(5)で、Pの軌跡は楕円です。
(2) 
，
より、 
......[答]
(3) 
とおくと、(2)の結果を用いて、 
･･･①一方、(1)の結果を用いて、
･･･②
･･･③
･･･④④より、
③に代入して、 
のとき、Pは線分AB上に来て、△PCDができないので、
より、
，
②より、
......[答]
(4) 
，
より、 点Eが直線CD上にあるとき、
∴ 
......[答]
(5) (4)の結果より、点Pと2定点A，Bとの距離の和が2なので、点Pは、A，Bを2焦点とし、長軸の長さが2となる楕円上の点です。
この楕円の焦点間距離の
は
，半長軸は1，半短軸は、
△PABの底辺は1，高さが半短軸になるとき(このとき、
)に、△PABの面積最大で、最大値Sは、 
......[答]
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を
，
，α，β を用いて表せ。
を
，
，αを用いて表せ。
を
，
，α，β を用いて表せ。
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