岐阜薬大数学'10年[6]
楕円O：
，直線l：
(
)，直線
：
がある。楕円Oと直線lが接しているとき、次の問いに答えよ。
(1) αの値を求めよ。また、楕円Oと直線
が2個の共有点をもつように、tの値の存在範囲を求めよ。 (2) 直線lと直線
の交点を点Hとするとき、点A
と点Hとの距離sをtを用いて表せ。また、楕円Oと直線
が2個の共有点P，Qをもつとき、
をtを用いて表せ。ただし、
とする。 (3) 楕円Oを直線lのまわりに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ。
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解答 斜回転体の体積の問題ですが、楕円を斜めに回転させてみよう、というわけで、いろいろと工夫が必要になります。ていねいな誘導に沿って進めて行きます。
楕円O：
･･･①
直線l：
･･･②
直線
：
･･･③
(1) ①と②を連立すると、楕円Oと直線lが接するので、この2次方程式は重解をもちます。判別式
について、 
より、
......[答]これより、直線l：
･･･④
①と③を連立すると、
･･･⑤楕円Oと直線
が2個の共有点をもつので、この2次方程式は2個の相異なる実数解をもちます。判別式
について、 ∴ 
∴ 
......[答]
(2) ③と④を連立すると、
∴ 
(
とおきます) ･･･⑥
これが点Hのx座標です。点Aから、直線：
に垂線AKを下ろすと、直線lの傾きが1であることから、直角三角形AHKは直角二等辺三角形で、AK：AH = 1：
より、 
･･･⑦
の下で、⑤の2解をp，q (
)とすると、
，
点P，点Qのx座標はp，qです。
直線
の傾きが
であることから、
(3) 断面積を直線lに沿って積分すれば良いわけですが、直線lに沿って座標をとり、直線lと垂直な平面で回転体を切ったときの断面積を考えます。
AHの長さsを直線lに沿ってとった座標とします。
とlが垂直なので、断面積は、外側の円の面積
から内側の円の面積
を引いたものになります。 
のとき、点Hのx座標は0で
，
のとき、点Hのx座標は2で
tは
の範囲を動きますが、このとき、
(∵ (2))以上より、
......[答]
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，
......[答]
とおくと、
，
，
，t：
のときu：
，t：
のときu：
，
のとき
とおくと
となり、半径
，つまり
になります