北大理系数学'10年後期[1]
次の連立不等式の表す領域をDとする。
(1) 領域Dを図示せよ。
(2) 点
がこの領域Dを動くとき、
の最大値Mと最小値mを求めよ。また、M，mを与えるDの点を求めよ。 (3) aを実数とする。点
が領域Dを動くとき、
が点
で最大値をとるようなaの範囲を求めよ。
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解答 線形計画法の問題です。
(1) 領域Dの境界線は、①，②を連立すると、
整理して、
∴ 
のとき
，
のとき
①，②，③は
で交わります。領域Dは円①から内側で、
において、
とすると成り立つので、3つの境界線で囲われた領域のうち、原点を含む部分で、図示すると、右図黄緑色着色部(境界線を含む)。
(2) 
･･･④とおくと、傾き
，y切片kの直線を表します。点
が(1)で図示した領域Dを動くので、直線④は領域Dと共有点をもたなければなりません。こうなるのは、 (i) 直線④が円の
の部分で接するときのkの値 から、
(ii) 直線④が点
を通るときのkの値 までの間の値を、kがとるときです。
(i)は、①と④を連立して、
整理して、
･･･⑤①と④は接するので、この2次方程式は重解をもちます。
∴ 
このとき⑤は、 
(複号同順)(ii)は、④に
，
を代入して、 (i)，(ii)より、
左側の不等号の等号は、
，
のとき、右側の不等号の等号は、
，
のときに成立します。以上より、
，これを与えるDの点は
，
，これを与えるDの点は
......[答]
(3) 
･･･⑥とおくと、傾き
，y切片kの直線を表します。点
が領域Dを動くので、(2)と同様、直線⑥は領域Dと共有点をもちます。
でkが最大値をとるので、kが最大値をとるとき、直線⑥は
を通り、 
･･･⑦このとき、
を通る直線が領域Dを2つの領域に分けるような直線であると仮定すると、2つの領域のいずれか一方の領域内の点を通り直線⑥と平行な直線(傾き
)のy切片はkよりも大きくなります。ということは、
はk最大を与える点ではない、ということになり矛盾を生じます。つまり、kの最大値を与える直線⑥が領域Dを2つの領域に分けることはありません。
ということは、直線⑥の傾きは、
において円①と接する直線の傾きと、直線②の傾き2までの間の値をとるということです。
直線⑥が
において円①と接するとき、
と直線⑥との距離は5となり(円と直線の位置関係を参照)、 これと⑦より、
∴ 
(直線⑥の傾きは
) ∴ 
......[答]
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･･･①
･･･②
･･･③
のとき
，
のとき
となる解は、
，このとき、
，
