広島大理系数学'10年後期[3]
に対して
(
)を考える。以下の問いに答えよ。
(1) 
のとき、
が成り立つことを示せ。 (2) 等式
を示せ。 (3) 
が成り立つことを示せ。 (4) 
が成り立つことを示せ。
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解答 不等式の証明が付属していますが、三角関数で表される数列の和を求めよう、という問題です。
(1) 
のグラフと
のグラフを考えます。 より、両グラフとも、2点
，
を通ります。
において、
より、
のグラフは上に凸です(関数の凹凸を参照)。
において、
のグラフは両端を除いて、両端を結ぶ直線
のグラフより上にあります。よって、
，即ち、
(2) 
(3) (2)をどう使うか、ということを考えることになりますが、示すべき不等式の分母を払うと、
となるので、Σ内の式と、(2)の右辺とを見比べて、
，
とおきます。(2)を用いて、
つまり、
これを、
について、加え合わせると、左辺は、 となり、右辺は、
(4) (3)で示した
の式では、右辺の派手な分子に目が行きがちですが、
，
とは言えないので(1)が利用できません。目立たないですが、分母の
の方に着目します。 より、
追記．(3)の等式は、ド・モアブルの定理を使うと、等比数列の和の公式を用いて証明できます。ド・モアブルの定理より、iを虚数単位、nを整数として、 ∴ 
実部、虚部を比較して、 
，
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，
，
に対して、
より、
とすると、
のとき
より、
，
