鹿児島大数学'10年[6]
で表される曲線をCとし、P
をC上の点とする。次の各問いに答えよ。
(1) 曲線C上の点Pにおける接線lの方程式は、
となることを証明せよ。
(2) 原点Oからlにおろした垂線をOHとする。Hの座標を
とするとき、
，
を
，
で表せ。 (3) F
，
とする。
は点Pの取り方によらず一定であることを証明せよ。また、その値を求めよ。
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解答 双曲線をテーマとする計算問題ですが、上手に計算しないと行き詰まります。
(1) C：
･･･① 
･･･②(i) 
のとき、 ①で
とすれば
におけるCの接線lは、
(複号同順) ･･･③ (ii) 
のとき、 ②で
，
とすれば、 
･･･④これが、P
におけるCの接線lの傾きです。接線lの方程式は、 P
はC上の点で①を満たすので、 
･･･⑤よって、接線lは、
ここで、
，
とすると、③を含んでいます。 以上より、曲線C上の点Pにおける接線lの方程式は、
･･･⑥となります。
(2) 曲線Cの接線で、y軸(
)と垂直になるものはないので、接線lと垂直な直線OHの傾きは、④より、
(
) (直線の平行と垂直を参照) 直線OHは、
⑥と連立すると、
(3) 
ここで、(2)の結果を用いて、
よって、
は点Pの取り方によらず一定で、その値は1 ......[答] です。
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，
は、
，
......[答]
(∵ ⑤)