大分大医数学'10年[3]
微分可能な関数
が次の方程式を満たすとする。
･･･(A)
(
)は実数の定数で、
である。また、
は
のk次導関数で
とする。(A)のような方程式を第n階微分方程式といい、(A)に対してtのn次方程式
･･･(B)
(1) 特性方程式(B)の解が実数rであるとき、関数
が方程式(A)を満たすことを証明せよ。 (2) n次方程式(B)が実数rをk重解にもつとき、次のtに関する方程式はrを
重解にもつことを証明せよ。ただし、
とする。 (注) tのm次方程式が適当な多項式
を用いて
となるとき、
をこの方程式のk重解と定義する。ただし、
とする。 (3) 実数の定数rに対してxの関数を
(
)とする。このとき、
をx，
および
を用いて表せ。ただし、
とする。 (4) 実数rがn次方程式(B)のk重解であるとき、
(
)が微分方程式(A)を満たすことを証明せよ。ただし、kは自然数とする。
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解答 線形微分方程式をネタとする野心的な問題です。
(1) 特性方程式(B)の解が実数rであるとき、
･･･①
(2) n次方程式(B)が実数rをk重解にもつとき、適当な多項式
を用いて、 
･･･②よって、
この両辺をtで微分すると、
このとき、
より、方程式
は、rを
重解にもちます。
この両辺をxで微分すると、
･･･③さらにxで微分すると、
さらにxで微分すると、
これより、
と予測できます。これを、nに関する数学的帰納法により証明します。 (Ⅰ) 
のとき、③より、予測は成り立ちます。 (Ⅱ) 
のとき、予測が成り立つと仮定して、 両辺をxで微分すると、
よって、
のときにも予測は成り立ちます。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、nが自然数のとき、予測は成り立ちます。
∴ 
......[答]
(4) kに関する数学的帰納法により証明します。
(Ⅰ)
のとき、(1)より、実数rがn次方程式(B)の解であるとき、
(
)のiは、
に限られ、
は微分方程式(A)を満たすので、題意は成り立ちます。 (Ⅱ)
のとき、題意が成り立つと仮定します。即ち、実数rがn次方程式(B)のm重解であるとき、
(
)は微分方程式(A)を満たすと仮定します。 ここで、
の場合を考えます。つまり、実数rがn次方程式(B)の
重解だとします。
このとき、実数rはn次方程式(B)のm重解になっているので、(Ⅱ)の仮定より、
(
)は微分方程式(A)を満たします。従って、
の場合の
が微分方程式(A)を満たすことが示せれば、「
(
)が微分方程式(A)を満たす」ことが言えて、
の場合にも題意が成り立つことを示すことができます。(3)の結果で
として、 ･･････
さらに、
これらより、
は微分方程式(A)を満たすので、2番目の中カッコ内は、です。1番目の中カッコ内を考えます。実数rがn次方程式(B)の
重解であるとき、(2)より、方程式 はrをm重解にもちます。すると、(Ⅱ)の仮定において、
，
，･･･，
，
と見ることにより、
は、微分方程式 を満たします。つまり、1番目の中カッコ内も
となります。
従って、
(
)が微分方程式(A)を満たし、
の場合にも題意が成り立ちます。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、kを自然数として、実数rがn次方程式(B)のk重解であるとき、
(
)は微分方程式(A)を満たします。
追記．(A)のような微分方程式を線形微分方程式と言います。抵抗力がある場合の振動現象や、電磁気学におけるRLC回路の挙動を調べる場合などに出てきます。 以下、最高次の係数は1だとして線形微分方程式について考えます。
(1) 線形1階微分方程式：
(r：定数) 両辺を積分して、
(C：積分定数)
とおいて、
(A：定数)同様にして、
を与えられた関数だとして、
の解は、 
とおいて、
･･･④以上の場合を斉次線形1解微分方程式と言います。次の方程式を非斉次線形1解微分方程式と言います。
･･･⑤この場合の解は、④のAを関数
に置き換え、
を微分方程式⑤に代入し、 ⑤より、
，
∴ 
から
を求め、積分計算を行うことにより
が求められます。 (2) 線形2階微分方程式：
(p，q：定数) となるので、(1)の場合の結果を用いて、
(C：定数)これより、 この解は(1)の非斉次の場合の結果を用いて、
･･･⑥
(D：定数)
，
と置き直して、
の場合(特性方程式が重解αをもつ場合)は、⑥が、となります。
(3) 線形n階微分方程式
本問のような線形微分方程式は、
と
が解であれば、
も解になります。本問より、n次の特性方程式が異なるn個の解
，
，･･･，
をもてば、微分方程式(A)の一般解は、 n次の特性方程式が異なる
個の解
，･･･，
とk重解Rをもてば、微分方程式(A)の一般解は、 となります。
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(∵ ①)
，
より、
，つまり、
(
とおきます。
，C：積分定数)
，
(
)として、特性方程式：
とおくと、
(
，
，･･･，
は定数)
，･･･
