九大理系数学'10年後期[1]
直線
(ただしaは正の実数)をlとし、曲線
(ただし
)をCとする。曲線Cが直線lの下側にあり、曲線C上の点
と直線lとの距離が
で表されるとき、以下の問いに答えよ。
1．関数
を求めよ。 2．曲線Cとx軸で囲まれた図形を、x軸のまわりに回転させてできる回転体の体積Vを求めよ。
3．Vが最大となるようにaの値を定めよ。
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解答 標準的な微積分の計算問題ですが、3．では少し工夫します。
1．直線l：
と、曲線C上の点
との距離が
であることから、 曲線Cが直線lの下側にあることから、
，よって、 ∴ 
t をxに入れ替えて、 
......[答]
2．
とすると、 ∴ 
のとき、
曲線Cとx軸で囲まれた図形は、
の範囲に存在します。
3．
のままaで微分するのでは計算が大変になることは見えています。
などとおくのでは分母の形が簡単にならずに不利です。分母を簡単にするのであれば、
とおけばVが微分しやすい形になります。 増減表より
のときV最大(関数の増減を参照)となります。このとき、
，
より、
......[答]
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......[答]
とおきます。
より
です。
