東北大理系数学'10年前期[2]
a，bを正の実数とする。曲線C：
と点P
を考える。以下の問いに答えよ。
(1) 点Pから曲線Cに接線がちょうど3本引けるような点
の存在する領域を図示せよ。 (2) 点Pから曲線Cに接線がちょうど2本引けるとする。2つの接点をA，Bとしたとき、
が
より小さくなるためのaとbの条件を求めよ。
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解答 問題文をよく読んで勘違いのないようにしよう、という問題です。
･･･①
(1) 
･･･② 接点
における接線は、 極大値：
極小値：
をとります(3次関数の増減を参照)。
点Pから曲線Cに接線がちょうど3本引けるようにするためには、tの3次方程式
が相異なる3実数解を持てばよいのですが、そのためには、極大値が正でかつ極小値が負となることが必要十分です(微分法の方程式への応用を参照)。 極大値：
より、
となりますが、このとき必ず、
極小値：
なので、
が相異なる3実数解をもつ条件は、
です。
，
より、点
の存在する領域を図示すると右図黄緑色着色部(点線の縦軸、境界線上、及び白マルを除く)。
(2) 点Pから曲線Cに接線がちょうど2本引けるとき、③：
が相異なる実数解を2個もちます。つまり、③：
が重解を1つ持ちます。このとき、
のグラフは横軸と接するようになるので、極大値か極小値のいずれかは0になります。 
のときは極大値が負となり③の実数解は1つです。
でも
でも
なので、極小値が0になることはなく、極大値が0だとすると、
より、
･･･④このとき、
は、2解、
，
をもちます。つまり、2接点のx座標は、0と
です。2接線の傾きは、②より、
と
です。
両接線とx軸とのなす角をα，βとして、
，
より、両接線のなす角
は、 
が
より小さくなるためには、2接線のなす角が
となればよいのですが、このとき、
となるので、
･･･⑤④，⑤より、求める条件は、
かつ 
......[答]
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から引いた接線なので、
を代入すると、
です。
･･･③
とおきます。③は
です。
とすると、
なので、
で
は、
で
は、
