東北大文系数学'10年後期[2]
△OABにおいて、辺OAを1:1に内分する点をM,辺OBを2:1に内分する点をNとし、線分ANと線分BMの交点をPとする。以下の問いに答えよ。
(2)
とする。辺OAを含む直線をl,辺OBを含む直線をmとする。△ABPの外接円がl,mに接するとき、内積
を求めよ。
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解答 (1)は2通りの解法を書いておきます。教科書通りの解法と、別解のおすすめ解法です。(2)はかなり面倒で、無闇に計算すると何をやっているのかわからなくなります。

(1) M,P,Bが一直線上の点であることから、MP:PB =
:t として、
より、
・・・@N,P,Aが一直線上の点であることから、NP:PA =
:s として、
より、
・・・A
,
が1次独立であることから、@,Aの係数を比較して、
,
連立して解くと、
,
@より、
......[答]∴ MP:PB = 1:1
よって、
(2) △ABPの外接円の中心をQとします。
外接円がl,mに接するので、
,
,これより、 ∴
・・・B ∴
また、△OAQ≡△OBQより、
,
・・・C
一方、点Qは、辺PAの垂直二等分線と辺PBの垂直二等分線の交点です。PA,PBの中点をC,Dとすると、
,
・・・D
より、
(∵ D)ところで、(1)の結果より、
(∵ B,C)
・・・F
(∵ B,C) ・・・GF,GをEに代入して、
∴
......[答]注.(2)の計算のポイントは、B,Cをうまく利用できるかというところにあります。
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