防衛医大数学'11年[4]
数列
について、以下の問いに答えよ。ただし、eは自然対数の底である。
(1) 第36項はいくらか。
(2) 不定積分
を求めよ。 (3) 第1項から第36項までのすべての項の積をAとする。このときAの整数部分の桁数はいくらか。ただし、
，
，
である。
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解答 (3)の問題文だけ読むと、とてつもない問題に見えますが、(2)を利用することにより解答できます。
(1) 第1群には
が1項あり、第2群には
が2項あり、第n群には
がn項あります。第8群までで、
項あるので、第36項は第8群の末尾です。第8群には
が8項あり、第36項は、
......[答]
(C：積分定数) ......[答]
(3) 第1群は
，第2群の全ての項の積は
，第3群の全ての項の積は
，第n群の全ての項の積は
第1項から第36項までの全ての項の積Aは、第1群から第8群までの全ての項の積で、
ここで、
，
などとなっていることから、(2)の利用を考え、
とおくと、
として、 より、
において、以上より、
より、よって、
より、Aの整数部分の桁数は2桁 ......[答]
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は単調増加な関数で、
において、
だから、
より、
を考慮して、
で加え合わせると、
(
のとき
に注意)
より、
