同志社大理工数学'11年[4]
数列
は漸化式
(
)
として次の問に答えよ。
(1) 
における
の最大値と最小値を求めよ。 (2) 
における
の最大値と最小値を求めよ。 (3) 
(
)が成立することを数学的帰納法を用いて示せ。 (4) 
(
)が成立することを示せ。 (5) 
を求めよ。
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解答 いきなり、
？と聞かれると厳しいですが、丁寧な誘導がついているので、誘導通りに進めて行けば解答できます。
(1) 
最大値：2，最小値：1 ......[答]
(2) 
対数微分法によって微分すると、
最大値：
，最小値：
......[答]
(Ⅰ) 
のとき、
より、成立します。 (Ⅱ) 
のとき、
が成立すると仮定します。 (1)より
は単調増加関数なので、
よって、
となり、
のときも成立します。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、
(
)が成立します。
(4) 
は全実数において連続かつ微分可能な関数なので、平均値の定理が使えます。平均値の定理より、 を満たす実数cが存在します。(2)より、
は単調増加関数なので、
，よって、
，
より、 ∴ 
(
)
(5) (4)の結果より、
，
より、ここで、
とすると、
より、
(等比数列の極限を参照)はさみうちの原理より、
∴ 
......[答]
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，
，
，
，･･･
(∵ 
)
は単調増加関数です。
において、
，
より、
，
，
は
において、
，
より、
(
)