同志社大理工数学'11年[4]
数列
は漸化式
(
) を満たしている。
として次の問に答えよ。
(1)
における
の最大値と最小値を求めよ。 (2)
における
の最大値と最小値を求めよ。 (3)
(
)が成立することを数学的帰納法を用いて示せ。 (4)
(
)が成立することを示せ。 (5)
を求めよ。
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解答 いきなり、
?と聞かれると厳しいですが、丁寧な誘導がついているので、誘導通りに進めて行けば解答できます。
(1) 
最大値:2,最小値:1 ......[答]
(2) 
対数微分法によって微分すると、
最大値:
,最小値:
......[答]
(T)
のとき、
より、成立します。 (U)
のとき、
が成立すると仮定します。 (1)より
は単調増加関数なので、
よって、
となり、
のときも成立します。 (T),(U)より、
(
)が成立します。
(4)
は全実数において連続かつ微分可能な関数なので、平均値の定理が使えます。平均値の定理より、 を満たす実数cが存在します。(2)より、
は単調増加関数なので、
,よって、
,
より、 ∴
(
)
(5) (4)の結果より、
,
より、ここで、
とすると、
より、
(等比数列の極限を参照)はさみうちの原理より、
∴
......[答]
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