電通大数学'11年前期[4]
直線
：
の法線ベクトルを
とし、点P
と直線
との距離をhとする。ただし、
で、
とする。
以下の問いに答えよ。
(1) 
の成分a，bを求めよ。 (2) 原点をOとし、
でない
に対し、
と
のなす角をθ とする。 このとき、hを
とθ を用いて表せ。また、hをx，yを用いて表せ。 以下では、曲線Cを、点A
と直線
からの距離が等しい点P
の軌跡とする。
(3) 曲線Cの方程式(x，yの関係式)を求めよ。
(4) 曲線Cと直線
(t は定数)との共有点の個数を求めよ。 (5) 曲線Cと直線
が2個の共有点Q，Rをもつとき、線分QRの長さをt を用いて表せ。 (6) 曲線Cと直線
とで囲まれる部分の面積Sを求めよ。
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解答 曲線Cは、軸に対して傾いていますが、放物線の定義を満たしています。(6)の面積は回転によらずとも(5)を活用して答えることができます。
(1) 直線
上の点で原点以外の点、例えば点B
を考えます。直線
の方向ベクトル
と垂直なベクトルは
(内積を参照)，よって、
より、
，
として
より、
，
......[答]
(2) 点Pから直線
に下ろした垂線の足をHとします。 
......[答]
より、また、
よって、
......[答]
(3) 
より、
のとき、 両辺を2乗すると、
∴ 
......[答] ･･･①
(4) 
のとき、 
･･･②
のとき
となり、共有点は0個、
のとき
となり、共有点は1個、
のとき
となり、共有点は2個 ......[答]
(5) 曲線Cと直線
が2個の共有点Q，Rをもつとき、つまり、
のとき、方程式②を解くと、Q，Rのx座標は、 線分QRの長さは、Q，Rのx座標の差として、
......[答]
(6) (4)より線分QRが存在するのは、QとRが一致する場合を含めて、
のときです。従って、求める面積Sは(定積分と面積を参照)、 
......[答]
追記．方程式①で表される曲線Cは、直線
を準線、点A
を焦点とする放物線です。放物線Cはx軸、y軸に対して傾いていますが、放物線の軸は、直線
に垂直でAを通る直線：
です。 直線
に平行な直線：
と放物線Cとの交点を求めると、①と
を連立し、 整理して、
のときには
(重解)，
となりますが、
は放物線Cの頂点です。
のときに2交点となりますが、2交点は軸：
上の点
に関して対称な位置にあります。
放物線Cの頂点と焦点の距離は
です。
放物線Cを、放物線の軸がy軸、頂点が原点、焦点が
に来るように回転させると、放物線Cは、
より、
となります。
元のx軸を同じように回転させると、点
を通り傾き
の直線：
となります。
と
を連立すると、
，
として、(6)の面積Sは、なります。
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