阪大理系数学'11年後期[2]
または
とする。nを自然数とし、1以上n以下の整数値をとるm項の数列
のうち、
に対して
を満たすものの個数を
とする。
(1) 
を求めよ。 (2) 
を満たす自然数jを求めよ。 (3) 極限値
を求めよ。
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解答 '85年[1]を思わせるような問題ですが、結局は、空間の格子点の数を求める問題です。
は平面上の格子点、
は空間内の格子点、ということです。(3)は、厳密に計算しなくても、はさみうちにすることを想定して不等式の形を作るようにしましょう。
まずは、(1)の意味がつかめないと先に進めないので、
として、具体的な場合を調べてみます。
を考えるので、
とします。
を満たすkは、
のみで、
となります。
のとき、
ともに1しかとり得ないのですが、これでは、
は満たされません。
です。
のとき、
は、1か2をとり得るのですが、
を満たすのは、
，
の場合のみで、
です。
のとき、
は、1か2か3をとり得るのですが、
を満たす数列は、
のみで、
です。
のとき、
は、1か2か3か4をとり得るのですが、
を満たす数列は、
のみで、
です。
，
という組み合わせは、nが偶数のときには可能ですが、nが奇数のときには可能でないので、nが偶数か奇数かで場合分けして考えることになります。
(1) jを自然数とします。
・
のとき、 
･･･①を満たす自然数
の組の個数を数えることになります。
なので
です。この範囲の
の値を1つ決めると、①を満たす自然数
は、
通りの値をとり得ます。よって、 ・
のとき、 
･･･②を満たす自然数
の組の個数を数えることになります。
なので、
，
は整数ではないので、
となります。この範囲の
の値を1つ決めると、②を満たす自然数
は、
通りの値をとり得ます。よって、 
(等差数列の
項の和)以上より、
......[答]
(2) 
，
では、
なので3項の数列
を考えることになります。題意より、 
，
では、
従って
は、
を満たす自然数
からなる数列
の個数です。
では、
従って
は、
を満たす自然数
からなる数列
の個数です。
これより、
は、
，つまり、
(
，
は整数でない)となる自然数
の組の個数に一致します。
となる自然数
，
の組の個数は、(1)より
となります。よって、
･･･③
を満たす自然数jは、
......[答]また、
では、
従って
は、
を満たす自然数
からなる数列
の個数です。
と同様に、
は、
，つまり、
となる自然数
の組の個数
に一致します。よって、
･･･④
(3) ③，④より、jを自然数として、
･･････
辺々加えると、
のとき、 同様に、
のとき、 
･･･⑥
を満たす自然数
の組は存在しないので
⑤，⑥より、
，
にかかわらず、
･･･⑦また、
をkの偶奇で場合分けして考えるのは面倒なので、はさみうちにすることを考えて、(1)の結果を利用し、 よって、⑦は、
･･･⑧
のとき
，
のとき
ですが、
なので、⑧の左辺は
を代入したものと比較し、⑧の右辺は
を代入したものと比較します。
⑧の左辺について、⑧の右辺について、
∴ 
各辺を
で割り、 
......[答]
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