阪大理系数学'21年前期[4]

整数abcに関する次の条件()を考える。
 ・・・()
(1) 整数abc()およびをみたすとき、c3の倍数であることを示せ。
(2) のとき、()およびをみたす整数の組の個数を求めよ。


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

解答 積分計算の問題と思いきや整数の問題です。

(1)  (不定積分を参照)
()より、
6をかけて、
整理すると、

より、
 ・・・@
とおくと、abは整数なので、mnも整数です。@より、
 ・・・A
これより、cも整数なので、mnのいずれかは、3の倍数です(整数を参照)
klを整数、として、abを、と表すことができます(剰余類を参照)
 ・・・B
m3の倍数になるのは、3の倍数のときですが、こうなるのは、のいずれかのときだけです。また、n3の倍数になるのは、3の倍数のときですが、これも、のいずれかのときだけです。つまり、m3の倍数になるときには、n3の倍数であり、n3の倍数になるときには、m3の倍数であって、9の倍数です。このとき、Aより、3の倍数であり、c3の倍数です。

(2)
Aより、
(1)で書いたように()が成り立つとき、mnはともに3の倍数なので、を整数として、とおくと、
 ∴
より、より、
なので、です。これより、整数は、の約数のどれでもよく、に対してはただ
1通りに決まり、に対して、Bより、
を連立して解くことにより、abがただ1通りに決まります。よって、整数の組の個数は、整数の取り方の数と一致し、約数の個数に一致します。よって、整数の組の個数は、 ......[]



【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

  数学TOP  TOPページに戻る

【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

各問題の著作権は
出題大学に属します。

©2005-2024
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾
(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメール
お送りください。