阪大理系数学'21年前期[4]

整数abcに関する次の条件()を考える。
 ・・・()
(1) 整数abc()およびをみたすとき、c3の倍数であることを示せ。
(2) のとき、()およびをみたす整数の組の個数を求めよ。

解答 積分計算の問題と思いきや整数の問題です。

(1)
()より、
6をかけて整理すると、
より、 ・・・@
とおくと、
abは整数なので、mnも整数です。@より、
 ・・・A
これより、mnのいずれかは、3の倍数です。
klを整数、として、abを、と表すことができます。
 ・・・B
m3の倍数になるのは、3の倍数のときですが、こうなるのは、のいずれかのときだけです。また、n3の倍数になるのは、3の倍数のときですが、これも、のいずれかのときだけです。つまり、m3の倍数になるときには、n3の倍数であり、n3の倍数になるときにはm3の倍数であって、9の倍数です。このとき、Aより、3の倍数であり、c3の倍数です。

(2)
Aより、
(1)で書いたように()が成り立つとき、mnはともに3の倍数なので、を整数として、とおくと、
 ∴
より、より、
なので、です。これより、整数は、の約数のどれでもよく、に対してはただ
1通りに決まり、に対して、Bより、
を連立して解くことにより、abがただ1通りに決まります。よって、整数の組の個数は、整数の取り方の数と一致し、の約数の個数に一致します。よって、整数の組の個数は、 ......[]



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