大阪大学理系2021年数学入試問題
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[1] a，bを
をみたす正の実数とする。xy平面上の点P
から、曲線
(
)に2本の接線を引き、その接点をQ
，R
とする。ただし、
とする。
(1) sおよびt をa，bを用いて表せ。
(2) 点P
が曲線
上の
，
をみたす部分を動くとき、
の最小値とそのときのa，bの値を求めよ。 [解答へ]
[2] 空間内に、同一平面上にない4点O，A，B，Cがある。s，tを
，
をみたす実数とする。線分OAを1：1に内分する点を
，線分OBを1：2に内分する点を
，線分ACをs：
に内分する点をP，線分BCをt ：
に内分する点をQとする。さらに4点
，
，P，Qが同一平面上にあるとする。
(1) t をsを用いて表せ。
[解答へ]
[3] nを自然数とし、t を
をみたす実数とする。
(1) 
のとき、不等式 が成り立つことを示せ。
(2) 不等式
が成り立つことを示せ。
(3) 
とおく。
をみたすような実数p，qの値を求めよ。 [解答へ]
[4] 整数a，b，cに関する次の条件(＊)を考える。
･･･(＊)(1) 整数a，b，cが(＊)および
をみたすとき、cは3の倍数であることを示せ。 (2) 
のとき、(＊)および
をみたす整数の組
の個数を求めよ。 [解答へ]
[5] 次の問いに答えよ。
(1) aを実数とする。xについての方程式
の実数解のうち、
をみたすものがちょうど1個あることを示せ。 (2) 自然数nに対し、
かつ
をみたす実数xを
とおく。t を
をみたす実数とする。このとき、曲線C：
上の点P
における接線が、不等式
の表す領域に含まれる点においても曲線Cと接するための必要十分条件は、t が
，
，
，･･･のいずれかと等しいことであることを示せ。 [解答へ]
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であるとき、sの値を求めよ。
