阪大理系数学'21年前期[3]

nを自然数とし、t をみたす実数とする。
(1) のとき、不等式
が成り立つことを示せ。
(2) 不等式
が成り立つことを示せ。
(3) とおく。をみたすような実数pqの値を求めよ。

解答 不等式を作ってはさみうちに持ち込むのですが、(3)東工大2020[5]を思い出させる問題です。

(1) とおくと、
のとき、より、,よって、において、は単調減少です。よって、において、

 ・・・@
とおくと、

 ()
よって、において、は単調増加です。これより、
よって、は単調増加です。従って、

 ・・・A
@,Aより、において、

(2) (1)の結果より、
左辺は、
右辺は、
中辺は、

以上より、

(3)  ・・・B です。
となるので、 ・・・C です。が有限確定値に収束すればCは言えるので、だろうということになります。
さて、
(2)の結果で、,・・・,としてみます。
とすると、
とすると、
とすると、
        ・・・・・・
とすると、
辺々加え合わせると、,また、 ・・・D
とおくと、Bより、
 ・・・E
ここでDについて、

 ・・・F
また、 ・・・G
E,Gより、

nをかけて、変形すると、
ここで、とすると、Fより、
はさみうちの原理より、
よって、
......[]



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