阪大理系数学'21年前期[3]

nを自然数とし、t をみたす実数とする。
(1) のとき、不等式
が成り立つことを示せ。
(2) 不等式
が成り立つことを示せ。
(3) とおく。をみたすような実数pqの値を求めよ。


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解答 不等式を作ってはさみうちに持ち込むのですが、(3)東工大2020[5]を思い出させる問題です。

(1) とおき、微分すると、
のとき、より、,よって、において、単調減少です。よって、において、

 ・・・@
とおくと、

 ()
よって、において、は単調増加です。これより、
よって、は単調増加です。従って、

 ・・・A
@,Aより、において、

(2) (1)不等式の各辺をの範囲で積分すると(定積分と不等式を参照)
左辺は、 (定積分の公式を参照)
右辺は、
中辺は、


以上より、

(3)  ・・・B です。
 (区分求積法を参照)
 (不定積分の公式を参照)
となるので、 ・・・C です。が有限確定値に収束(数列の極限を参照)すればCは言えるので、だろうということになります。
さて、
(2)の結果で、,・・・,としてみます。
とすると、
とすると、
とすると、
        ・・・・・・
とすると、
辺々加え合わせると、
 (定積分を参照)
また、 ・・・D
とおくと、Bを用いて、
 ・・・E
ここでDについて、

 ・・・F
また、 ・・・G
E,Gより、
をかけて、
各辺からを引いて変形すると、
ここで、とすると、Fより、

はさみうちの原理より、
よって、
......[]



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