阪大理系数学'21年前期[5]
次の問いに答えよ。
(1) aを実数とする。xについての方程式
の実数解のうち、
をみたすものがちょうど1個あることを示せ。 (2) 自然数nに対し、
かつ
をみたす実数xを
とおく。t を
をみたす実数とする。このとき、曲線C：
上の点P
における接線が、不等式
の表す領域に含まれる点においても曲線Cと接するための必要十分条件は、t が
，
，
，･･･のいずれかと等しいことであることを示せ。
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解答 必要十分条件を示せ、という問題ですが、「自然数nに対し、
かつ
をみたす実数xを
とおく」は
の定義なので、
を前提条件として、
における曲線Cの接線が曲線Cと
においても接点をもっていて、かつ、曲線Cの
における接線が
においても曲線Cに接することを示すようにします。
，
より、方程式
(a：実数)は
においてただ1つの解をもち(中間値の定理を参照)、題意が成立します。
(2) C：
，微分すると、
，
(n：自然数)における曲線Cの接線は、 
･･･①
(
)における曲線Cの接線は、
･･･②①，②が一致するためには、
･･･③ かつ 
･･･④・
のとき、
(k：整数)，
においては、
(k：自然数) このとき、
，
，④より、 
より、
，これを満たす自然数k，nはありません。・
のとき、
(k：整数)，
においては、
(k：自然数) ･･･⑤ このとき、
，
，④より、 
∴ 
即ち、
における曲線Cの接線は、曲線Cと
(
)においても接します。 注．この結果は、曲線C：
が、点
に関して点対称であることからほぼ明らかで、最初からこの事実を用いて答案を書くこともできます。 逆に、
(n：自然数、
なので、
)における曲線Cの接線は、 
は、
かつ
を満たすので、
より、
，つまり、
なので、⑥は、となり、曲線Cの
における接線に一致します。つまり、C：
上の点P
における接線が、不等式
の表す領域に含まれる点においても曲線Cと接するとき、t は
，
，
，･･･のいずれかと等しくなります。
以上より、曲線C：
上の点P
における接線が、不等式
の表す領域に含まれる点においても曲線Cと接するための必要十分条件は、t が
，
，
，･･･のいずれかと等しいこと、です。 注．上記の証明の構造は、次のようになっています。
曲線Cの
における接線は、
，
であれば、曲線Cと
(
)においても接する、つまり、
⇒ 曲線Cの
における接線は曲線Cと
においても接する。
また、
における接線が、
における曲線Cの接線と一致するなら
，つまり、
曲線Cの
における接線が
(
)においても接する ⇒ 
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においては
より
で割ると、
は、
かつ
をみたす実数なので、
∴ 
･･･⑥
(
)
より、
において
は
