(1) aを実数とする。xについての方程式の実数解のうち、をみたすものがちょうど1個あることを示せ。

(2) 自然数nに対し、かつをみたす実数xをとおく。t ををみたす実数とする。このとき、曲線C：上の点Pにおける接線が、不等式の表す領域に含まれる点においても曲線Cと接するための必要十分条件は、t が，，，･･･のいずれかと等しいことであることを示せ。

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に対し、かつをみたす実数

をとおく」はの定義なので、を前提条件として、における曲線

とにおいても接点をもっていて、かつ、曲線

のにおける接線がにおいても曲線

(1) ()とおく。より、においては単調減少。

，より、方程式 (a：実数)はにおいてただ1つの解をもち、題意が成立します。

(2) C：，微分すると、， (n：自然数)における曲線Cの接線は、

　･･･�@

()における曲線Cの接線は、

　･･･�A

　･･･�B　かつ　　･･･�C

�Bより、　∴ または

・のとき、 (k：整数)，においては、 (k：自然数)

このとき、，，�Cより、

より、，これを満たす自然数k，nはありません。

・のとき、 (k：整数)，においては、 (k：自然数)　･･･�D

このとき、，，�Cより、

においてはよりで割ると、

　∴

は、かつをみたす実数なので、　∴
即ち、における曲線Cの接線は、 ()においても接します。

注．この結果は、曲線C：が、点に関して点対称であることからほぼ明らかで、最初からこの事実を用いて答案を書くこともできます。

逆に、 (n：自然数)における曲線Cの接線は、

　･･･�E

は、かつを満たすので、より、，つまり、なので、�Eは、

となり、曲線Cのにおける接線に一致します。つまり、C：上の点Pにおける接線が、不等式の表す領域に含まれる点においても曲線Cと接するとき、t は，，，･･･のいずれかと等しくなります。
以上より、曲線C：上の点Pにおける接線が、不等式の表す領域に含まれる点においても曲線Cと接するための必要十分条件は、t が，，，･･･のいずれかと等しいこと、です。

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