阪大理系数学'21年前期[1]
a，bを
をみたす正の実数とする。xy平面上の点P
から、曲線
(
)に2本の接線を引き、その接点をQ
，R
とする。ただし、
とする。
(1) sおよびt をa，bを用いて表せ。
(2) 点P
が曲線
上の
，
をみたす部分を動くとき、
の最小値とそのときのa，bの値を求めよ。
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解答 正直に体当たりするのは無謀です。
これが、点P
を通るとき、 
なので、
をかけると、
∴ 
より、根号内は正です。2接点Q，Rのx座標は、
より、
，
......[答]
(2) 点P
(
，
)が曲線
上を動くので、
･･･① (1)の結果を用いて、
･･･②①より、
･･･③ となるので、 としてしまうと、これを微分するのでは、計算ミスのリスクが高すぎます。そこで、
をいきなりaの関数とするのではなく、幾つかの段階に分けることを考えます。②を見ると、
を
の関数の形に表せそうです。これでもよいのですが、分子が2乗の形をしているので、分母も2乗の形になるように、
･･･④ とおくことにします。
より、
です。こうして、 
･･･⑤
より、
です。そこで、
(
)，また、
をaの関数として、
とおくと、合成関数の微分法により、
∴ 
⑥に代入して、
，
，
，
より、
となるので、増減表は、以下のようになります。
のとき、①より、
(
)，④より、
，⑤より、
(
)増減表より、
の最小値は3，そのときのa，bは、
，
......[答]
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，点
のとき
，
より、
，両辺を
