阪大理系数学'21年前期[1]

abをみたす正の実数とする。xy平面上の点Pから、曲線 ()2本の接線を引き、その接点をQRとする。ただし、とする。
(1) sおよびt abを用いて表せ。
(2) Pが曲線上のをみたす部分を動くとき、の最小値とそのときのabの値を求めよ。

解答 正直に体当たりするのは無謀です。

(1) を微分すると、,点Rにおける接線は、のときより、
これが、点Pを通るとき、
なので、をかけると、

より、根号内は正です。2接点QRx座標は、より、 ......[]

(2) P ()が曲線上を動くので、 ・・・@
(1)の結果を用いて、
 ・・・A
@より、 ・・・B となるので、
としてしまうと、これを微分するのでは、計算ミスのリスクが高すぎます。そこで、をいきなりaの関数とするのではなく、幾つかの段階に分けることを考えます。Aを見ると、の関数の形に表せそうです。これでもよいのですが、分子が2乗の形をしているので、分母も2乗の形になるように、 ・・・C とおくことにします。より、です。こうして、
 ・・・D
より、です。そこで、(),また、aの関数として、とおくと、合成関数の微分法により、

Cより、Bを用いて、,両辺を陰関数の微分法によりaで微分すると、
 ∴
以上より、
より、となるので、増減表は、以下のようになります。
a0  
×0
×

のとき、@より、 (),Cより、,Dより、 ()
増減表より、の最小値は3,そのときのabは、 ......[]



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